- 直线与圆的位置关系
- 共1189题
已知两个不相等的实数a、b满足以下关系式:a2•sinθ+a•cosθ+c=0,b2•sinθ+b•cosθ+c=0,则连接A(a2,a)、B(b2,b)两点的直线被圆心在原点的单位圆所截得的弦长为,则c=______.
正确答案
由题知,实数a与b为一元二次方程x2•sinθ+x•cosθ-=0的两个解,
所以a+b=-,ab=-
,
又A(a2,a)、B(b2,b),
所以直线AB的方程为:y-a=(x-a2),化简得x-(a+b)y+ab=0,
∵弦长为,圆的半径r=1,∴圆心到直线AB的距离d=
=
,
即=
=
,
解得:c=±.
故答案为:±
直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交于A,B两点(其中a,b是实数),且△AOB是直角三角形(O是坐标原点),则点P(a,b)与点(0,5-
)之间距离的最大值为______.
正确答案
由题意可得△AOB是等腰直角三角,且两直角边的长等于1.
故圆心(0,0)到直线ax+by=1的距离等于
,∴
=
,
化简可得 2a2+b2=2,即a2+ =1.
故点P(a,b)在椭圆 x2+ =1 上.
故点P(a,b)与点(0,5-)之间距离的最大值为点(0,-
)与点(0,5-
)之间的距离,其值等于5,
故答案为 5.
若直线2ax+by-2=0 (a,b∈R+)平分圆x2+y2-2x-4y-6=0,则+
的最小值是______.
正确答案
圆x2+y2-2x-4y-6=0的圆心坐标(1,2),
由于直线2ax+by-2=0 (a,b∈R+)平分圆,
所以2a+2b=2,即a+b=1,
则+
=(
+
)(a+b)=3+
+
≥3+2
(a,b∈R+当且仅当a=
b时取等号)
故答案为:3+2
若直线2ax-by+2=0(a>0,b>0)被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4,则+
的最小值为______.
正确答案
圆x2+y2+2x-4y+1=0化为标准方程为(x+1)2+(y-2)2=4,
易得圆心坐标为(-1,2),半径为2;
若直线2ax-by+2=0(a>0,b>0)被圆截得的弦长为4,为直径的长,
则直线过圆心,即2a×(-1)-b×2-2=0,变形可得a+b=1,
+
=(
+
)×(a+b)=4+
+3
,
又由a>0且b>0,可得>0,
>0,则(
+3
)≥2
,
则+
=4+
+3
≥4+2
,即
+
的最小值为4+2
,
故答案为4+2.
若直线ax+2by-2=0(a,b>0)始终平分圆x2+y2-4x-2y-8=0的周长,则+
的最小值为______.
正确答案
由圆的性质可知,直线ax+2by-2=0即是圆的直径所在的直线方程
∵圆x2+y2-4x-2y-8=0的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=13,
∴圆心(2,1)在直线ax+2by-2=0上
∴2a+2b-2=0即a+b=1
∵+
=(
+
)(a+b)=3+
+
≥3+2
=3+2
∴+
的最小值3+2
故答案为:3+2
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