直线与圆的位置关系
共1189题

· 直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系
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题型：填空题

填空题

已知两个不相等的实数a、b满足以下关系式：a2•sinθ+a•cosθ+c=0，b2•sinθ+b•cosθ+c=0，则连接A（a2，a）、B（b2，b）两点的直线被圆心在原点的单位圆所截得的弦长为，则c=______．

正确答案

由题知，实数a与b为一元二次方程x2•sinθ+x•cosθ-=0的两个解，

所以a+b=-，ab=-，

又A（a2，a）、B（b2，b），

所以直线AB的方程为：y-a=（x-a2），化简得x-（a+b）y+ab=0，

∵弦长为，圆的半径r=1，∴圆心到直线AB的距离d==，

即==，

解得：c=±．

故答案为：±

题型：填空题

填空题

直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交于A，B两点（其中a，b是实数），且△AOB是直角三角形（O是坐标原点），则点P（a，b）与点(0，5-)之间距离的最大值为______．

正确答案

由题意可得△AOB是等腰直角三角，且两直角边的长等于1．

故圆心（0，0）到直线ax+by=1的距离等于，∴=，

化简可得 2a2+b2=2，即a2+ =1．

故点P（a，b）在椭圆 x2+ =1 上．

故点P（a，b）与点(0，5-)之间距离的最大值为点（0，-）与点(0，5-)之间的距离，其值等于5，

故答案为 5．

题型：填空题

填空题

若直线2ax+by-2=0 （a，b∈R+）平分圆x2+y2-2x-4y-6=0，则+的最小值是______．

正确答案

圆x2+y2-2x-4y-6=0的圆心坐标（1，2），

由于直线2ax+by-2=0 （a，b∈R+）平分圆，

所以2a+2b=2，即a+b=1，

则+=(+)(a+b)=3++≥3+2（a，b∈R+当且仅当a=b时取等号）

故答案为：3+2

题型：填空题

填空题

若直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则+的最小值为______．

正确答案

圆x2+y2+2x-4y+1=0化为标准方程为（x+1）2+（y-2）2=4，

易得圆心坐标为（-1，2），半径为2；

若直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆截得的弦长为4，为直径的长，

则直线过圆心，即2a×（-1）-b×2-2=0，变形可得a+b=1，

+=（+）×（a+b）=4++3，

又由a＞0且b＞0，可得＞0，＞0，则（+3）≥2，

则+=4++3≥4+2，即+的最小值为4+2，

故答案为4+2．

题型：填空题

填空题

若直线ax+2by-2=0（a，b＞0）始终平分圆x2+y2-4x-2y-8=0的周长，则+的最小值为______．

正确答案

由圆的性质可知，直线ax+2by-2=0即是圆的直径所在的直线方程

∵圆x2+y2-4x-2y-8=0的标准方程为（x-2）2+（y-1）2=13，

∴圆心（2，1）在直线ax+2by-2=0上

∴2a+2b-2=0即a+b=1

∵+=（+）（a+b）=3++≥3+2=3+2

∴+的最小值3+2

故答案为：3+2

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