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题型:填空题
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填空题

已知两个不相等的实数a、b满足以下关系式:a2•sinθ+a•cosθ+c=0,b2•sinθ+b•cosθ+c=0,则连接A(a2,a)、B(b2,b)两点的直线被圆心在原点的单位圆所截得的弦长为,则c=______.

正确答案

由题知,实数a与b为一元二次方程x2•sinθ+x•cosθ-=0的两个解,

所以a+b=-,ab=-

又A(a2,a)、B(b2,b),

所以直线AB的方程为:y-a=(x-a2),化简得x-(a+b)y+ab=0,

∵弦长为,圆的半径r=1,∴圆心到直线AB的距离d==

==

解得:c=±

故答案为:±

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题型:填空题
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填空题

直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交于A,B两点(其中a,b是实数),且△AOB是直角三角形(O是坐标原点),则点P(a,b)与点(0,5-)之间距离的最大值为______.

正确答案

由题意可得△AOB是等腰直角三角,且两直角边的长等于1.

故圆心(0,0)到直线ax+by=1的距离等于,∴=

化简可得 2a2+b2=2,即a2=1.

故点P(a,b)在椭圆 x2=1 上.

故点P(a,b)与点(0,5-)之间距离的最大值为点(0,-)与点(0,5-)之间的距离,其值等于5,

故答案为 5.

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题型:填空题
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填空题

若直线2ax+by-2=0 (a,b∈R+)平分圆x2+y2-2x-4y-6=0,则+的最小值是______.

正确答案

圆x2+y2-2x-4y-6=0的圆心坐标(1,2),

由于直线2ax+by-2=0 (a,b∈R+)平分圆,

所以2a+2b=2,即a+b=1,

+=(+)(a+b)=3++≥3+2(a,b∈R+当且仅当a=b时取等号)

故答案为:3+2

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题型:填空题
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填空题

若直线2ax-by+2=0(a>0,b>0)被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4,则+的最小值为______.

正确答案

圆x2+y2+2x-4y+1=0化为标准方程为(x+1)2+(y-2)2=4,

易得圆心坐标为(-1,2),半径为2;

若直线2ax-by+2=0(a>0,b>0)被圆截得的弦长为4,为直径的长,

则直线过圆心,即2a×(-1)-b×2-2=0,变形可得a+b=1,

+=(+)×(a+b)=4++3

又由a>0且b>0,可得>0,>0,则(+3)≥2

+=4++3≥4+2,即+的最小值为4+2

故答案为4+2

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题型:填空题
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填空题

若直线ax+2by-2=0(a,b>0)始终平分圆x2+y2-4x-2y-8=0的周长,则+的最小值为______.

正确答案

由圆的性质可知,直线ax+2by-2=0即是圆的直径所在的直线方程

∵圆x2+y2-4x-2y-8=0的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=13,

∴圆心(2,1)在直线ax+2by-2=0上

∴2a+2b-2=0即a+b=1

+=(+)(a+b)=3++≥3+2=3+2

+的最小值3+2

故答案为:3+2

下一知识点 : 圆的切线方程
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