- 直线与圆的位置关系
- 共1189题
已知圆C经过点A（0，3）和B（3，2），且圆心C在直线y=x上．
（Ⅰ） 求圆C的方程；
（Ⅱ）若直线y=2x+m被圆C所截得的弦长为4，求实数m的值．
正确答案
（Ⅰ）由于圆心在直线y=x上，故可设圆C的圆心坐标为C（a，a）． 再由圆C经过A（0，3）、B（3，2）两点，
可得|CA|=|CB|，∴|CA|2=|CB|2，∴（a-0）2+（a-3）2=（a-3）2+（a-2）2．
解得 a=1，故圆心C（1，1），半径r=
故圆C的方程为 （x-1）2+（y-1）2=5，
（Ⅱ）圆心C（1，1），半径r=
圆心到直线y=2x+m的距离为：
直线被圆C所截得的弦长为4，所以半弦长为：2；
所以（
所以实数m的值为-1±
（1）已知圆C经过A（5，1），B（1，3）两点，圆心在x轴上，求圆C的方程．
（2）求与圆x2+y2-2x+4y+1=0同心，且与直线2x-y+1=0相切的圆的方程．
正确答案
（1）∵A（5，1），B（1，3），
∴线段AB的中点坐标为（
直线AB的斜率kAB=
∴线段AB垂直平分线的方程为y-2=2（x-3），即y=2x-4，
又圆心在x轴上，∴令y=0，得到2x-4=0，即x=2，
∴圆心C坐标为（2，0），
∴圆的半径r=|AC|=
则圆C的方程为（x-2）2+y2=10．
（2）所求圆的圆心坐标为 （1，-2），
因为直线与圆相切，所以圆的半径为：
所以所求圆的方程为：（x-1）2+（y+2）2=5．
已知圆C和y轴相切，圆心在直线x-3y=0上，且被直线y=x截得的弦长为2
正确答案
设圆心为（3t，t），半径为r=|3t|，
则圆心到直线y=x的距离d=
而(
∴（x-3）2+（y-1）2=9或（x+3）2+（y+1）2=9（12分）
若圆C经过坐标原点和点（6，0），且与直线y=1相切，从圆C外一点P（a，b）向该圆引切线PT，T为切点，
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）已知点Q（2，-2），且|PT|=|PQ|，试判断点P是否总在某一定直线l上，若是，求出l的方程；若不是，请说明理由；
（Ⅲ）若（Ⅱ）中直线l与x轴的交点为F，点M，N是直线x=6上两动点，且以M，N为直径的圆E过点F，圆E是否过定点？证明你的结论．
正确答案
（Ⅰ）设圆心C（m，n）由题易得m=3----（1分）
半径r=|1-n|=
得n=-4，r=5----（3分）
所以圆C的方程为（x-3）2+（y+4）2=25----（4分）
（Ⅱ）由题可得PT⊥CT----（5分）
所以|PT|=
|PQ|=
所以
所以点P总在直线x-2y+4=0上----（8分）
（Ⅲ）证明：F（-4，0）----（9分）
由题可设点M（6，y1），N（6，y2），
则圆心E(6，
从而圆E的方程为(x-6)2+(y-
整理得x2+y2-12x-（y1+y2）y+36+y1y2=0又点F在圆E上，故
得y1y2=-100----（12分）
所以x2+y2-12x-（y1+y2）y-64=0
令y=0得x2-12x-64=0，----（13分）
所以x=16或x=-4
所以圆E过定点（16，0）和（-4，0）----（14分）
已知方程x2+y2+x-6y+m=0，
（1）若此方程表示的曲线是圆C，求m的取值范围；
（2）若（1）中的圆C与直线x+2y-3=0相交于P，Q两点，且OP⊥OQ（O为原点），求圆C的方程；
（3）在（2）的条件下，过点（-2，4）作直线与圆C交于M，N两点，若|MN|=4，求直线MN的方程．
正确答案
（1）方程x2+y2+x-6y+m=0即 (x+
1
2
)2+(y-3)2= 
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2）．∵OP⊥OQ，故 x1•x2+y1•y2=0 ①．
由
∴x1•x2=（3-2y1）（3-2y2）=9-6（y1+y2）+4y1•y2．
代入①可得5y1•y2-6（y1+y2）+9=0，解得m=3，满足△＞0．
圆C的方程为：(x+
1
2
)2+(y-3)2=
（3）当直线MN垂直x轴时，直线MN的方程为：x=2，此时，直线MN与圆的焦点分别为（-2，1）和（-2，5），
满足|MN|=4．
当直线MN不垂直x轴时，设直线MN斜率为k，直线MN的方程为：y-4=k（x+2），即 kx-y+2k+4=0．
把直线MN的方程代入圆的方程化简可得（ k2+1）x2+（4k2+2k+1）x+（k2+4k-5）=0．
故 x3+x4=-
由弦长公式可得 4=
解得k=
故所求的直线MN的方程为 5x-12y=58=0．
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