- 直线与圆的位置关系
- 共1189题
已知平面直角坐标系xoy中O是坐标原点，A（6，2
（1）求圆C的方程；
（2）若l与圆相切，求切线方程；
（3）若l被圆所截得的弦长为4
正确答案
（1）∵O（0，0），A（6，2
∴直线OA的方程斜率为
∴线段OA垂直平分线的斜率为-
∴线段OA垂直平分线的方程为y-
又线段OB的垂直平分线为x=4②，
∴将②代入①解得：y=0，
∴圆心C的坐标为（4，0），
又|OC|=4，即圆C的半径为4，
则圆C的方程为：（x-4）2+y2=16；
（2）显然切线方程的斜率存在，设切线l的斜率为k，又切线过（2，6），
∴切线l的方程为y-6=k（x-2），即kx-y+6-2k=0，
∴圆心到切线的距离d=r，即
解得：k=
则切线l的方程为：y-6=
（3）当直线l的斜率不存在时，显然直线x=2满足题意；
当直线l的斜率存在时，设斜率为k，又直线l过（2，6），
∴切线l的方程为y-6=k（x-2），即kx-y+6-2k=0，
又弦长为4
∴圆心到切线的距离d=
解得：k=-
∴直线l的方程为y-6=-
综上，直线l的方程为x=2或4x+3y-26=0．
已知△ABC三顶点A（0，0），B（1，1），C（4，2）．
（1）求该三角形外接圆的方程．
（2）若过点（-1，-2）的直线l被△ABC外接圆截得的线段长为2
正确答案
（1）设三角形外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0
将A（0，0），B（1，1），C（4，2）代入得
解得
∴三角形外接圆的方程为x2+y2-8x+6y=0即（x-4）2+（y+3）2=25
（2）设直线l的斜率为k，则直线方程为y+2=k（x+1）即kx-y+k-2=0
圆心（4，-3）到直线l的距离为
解得k=-1或
∴直线l的方程为x+y+3=0或7x-17y-27=0
已知圆C经过点A（1，3）、B（2，2），并且直线l：3x-2y=0平分圆C，求圆C的方程．
正确答案
线段AB的中点E（
故线段AB中垂线的方程为y-
由圆C经过A、B两点，故圆心在线段AB的中垂线上
又直线3x-2y=0平分圆的面积，所以直线l经过圆心
由
而圆的半径r=|AC|=
故圆C的方程为（x-2）2+（y-3）2=1．
圆C过坐标原点，圆心在x轴的正半轴上．若圆C被直线x-y=0截得的弦长为2
正确答案
∵圆C过坐标原点，圆心在x轴的正半轴上，
∴设圆的方程为（x-r）2+y2=r2，
∵圆C被直线x-y=0截得的弦长为2
∴圆心C（0，r）到直线x-y=0的距离d=
解得r=2．
∴圆C的方程是（x-2）2+y2=r2，
故答案为：（x-2）2+y2=r2，
在平面直角坐标系中，已知三点A（-2，0）、B（2，0）C(1，
（1）求圆M的方程；
（2）若点P为圆M上异于A、B的任意一点，过原点O作PF的垂线交直线x=2
正确答案
（1）法一设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
因为圆M过A，B，C，
所以
解得D=E=0，F=-4，故圆M方程为x2+y2=4．（6分）
解法二：由题意知A(-2，0)，B(2，0)，C(1，
所以KAC=
所以AC⊥BC，所以△ABC是以C为直角顶点的直角三角形，（4分）
所以外接圆M以原点O为圆心，线段AB为直径，故其方程为x2+y2=4．（6分）
（2）直线PQ与圆M相切．
下证明这个结论：由椭圆E的方程
设P（x0，y0）（x0≠±2），则y02=4-x02．
当x0=
所以OP⊥PQ所以直线PQ与圆M相切．（10分）
当x0≠
所以直线OQ的方程为y=-
点Q的坐标为(2
所以kPQ=-
所以当x0=0时，kPQ=0，OP⊥PQ，直线PQ始终与圆M相切；
当x0≠0时，kPQ•kOP=-1，OP⊥PQ，直线PQ始终与圆M相切．
综上，当x0≠±2时，总有OP⊥PQ，故直线PQ始终与圆M相切．（16分）
扫码查看完整答案与解析