- 直线与圆的位置关系
- 共1189题
已知一个圆截y轴所得的弦长为2，被x轴分成的两段弧长的比为3：1．
（1）设圆心（a，b），求实数a、b满足的关系式；
（2）当圆心到直线l：x-2y=0的距离最小时，求圆的方程．
正确答案
（1）设圆心P（a，b），半径为r，则|b|=
又|a|2+1=r2，所以a2+1=r2，②
联立①②消去r得：2b2=a2+1；…（6分）
（2）点P到直线x-2y=0的距离d=
5d2=a2-4ab+4b2≥a2+4b2-2（a2+b2）=2b2-a2=1，…（9分）
所以
所以
所以（x-1）2+（y-1）2=2或（x+1）2+（y+1）2=2．…（13分）
已知在直角坐标系中，直线l的参数方程为
（1）试写出直线l的普通方程和圆C的普通方程
（2）判断直线l与圆C的位置关系．
正确答案
（1）消去参数t，即可得到直线l的普通方程为：2x-y-3=0．
圆C的参数方程为
表示以A（1，1）为圆心，以
（2）圆心到直线的距离等于 
圆心到直线距离d=
已知圆x2+y2=25上的两个定点A（0，5），B（3，4）和一个动点D．求以AB、AD为两邻边的平行四边形ABCD的顶点C的轨迹方程．
正确答案
设D（x1，y1），C（x，y），
∵A（0，5），B（3，4）
∴
∴x1=x-3，y1=y+1
∵D在圆x2+y2=25上
∴（x-3）2+（y+1）2=25
已知两点M（-1，0）、N（1，0），点P为坐标平面内的动点，满足|
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）若点A（t，4）是动点P的轨迹上的一点，K（m，0）是x轴上的一动点，试讨论直线AK与圆x2+（y-2）2=4的位置关系．
正确答案
（1）设P（x，y），则
由|
得2
化简得y2=4x．
所以动点P的轨迹方程为y2=4x．（5分）
（2）由点A（t，4）在轨迹y2=4x上，则42=4t，解得t=4，即A（4，4）．（6分）
当m=4时，直线AK的方程为x=4，此时直线AK与圆x2+（y-2）2=4相离．（7分）
当m≠4时，直线AK的方程为y=
圆心（0，2）到直线AK的距离d=
令d=
令d=
令d=
综上所述，当m＜1时，直线AK与圆x2+（y-2）2=4相交；
当m=1时，直线AK与圆x2+（y-2）2=4相切；
当m＞1时，直线AK与圆x2+（y-2）2=4相离．（14分）
圆x2+y2=8内一点P（-1，2）．过点P的直线的倾斜角为α，直线l交圆于A、B两点．
（Ⅰ）当α=135°时，求AB的长；（tan135°=-1）
（Ⅱ）当弦AB被点P平分时，求直线l的方程．
正确答案
（Ⅰ）当α=135°时，kAB=-1，得直线AB的方程为y-2=-（x+1），（2分）
∴直线AB方程为x+y-1=0．
故圆心（0，0）到AB的距离d=
从而得到弦长|AB|=2
（Ⅱ）∵圆x2+y2=8的圆心为O（0，0），P（-1，2）
∴由直线的斜率公式算出OP的斜率kop=-2，
又∵弦AB被点P平分，可得OP与AB互相垂直
∴直线AB的斜率kAB=
因此，直线l的方程为y-2=
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