直线与圆的位置关系
共1189题

· 直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系
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题型：简答题

简答题

根据下列条件，求圆的方程：

（1）经过A（6，5）、B（0，1）两点，并且圆心在直线3x+10y+9=0上；

（2）经过P（-2，4）、Q（3，-1）两点，并且在x轴上截得的弦长等于6．

正确答案

（1）∵AB的中垂线方程为：3x+2y-15=0，由，解得，

圆心坐标为C（7，-3），BC=

故所求的圆的方程为（x-7）2+（y+3）2=65．

（2）因为线段PQ的垂直平分线为y=x+1，

所以设圆心C的坐标为（a，a+1），

半径r=|PC|==，圆心C到x轴的距离为d=|a+1|，

由题意得32+d2=r2，即32+（a+1）2=2a2-2a+13，

整理得a2-4a+3=0，解得a=1或a=3．

当a=1时，圆的方程为（x-1）2+（y-2）2=13；

当a=3时，圆的方程为（x-3）2+（y-4）2=25．

综上得，所求的圆的方程为（x-1）2+（y-2）2=13或（x-3）2+（y-4）2=25．

题型：简答题

简答题

圆C：（x-1）2+（y-2）2=25内有一点P（3，1），l为过点P且倾斜角为α的直线．

（1）若α=，求直线l与圆C相交弦的弦长；

（2）求直线l被圆C截得的弦长度最短时，直线l的方程．

正确答案

（1）α=⇒kl=-1，

直线l的方程：y-1=-（x-3）即x+y-4=0

点C（1，2）到直线l的距离d==，又圆C的半径为5，

则直线l与圆C相交弦的弦长为：2=7；

（2）当直线l与直线CP垂直时，直线l被圆C截得的弦长度最短.kCP=-⇒kl=2

∴直线l的方程：2x-y-5=0．

题型：简答题

简答题

（1）求过（-1，2），斜率为2的直线的参数方程．

（2）若直线3x+4y+m=0与圆（θ为参数）没有公共点，求实数m的取值范围．

正确答案

（1）∵直线l过（-1，2），斜率为2，∴直线l的普通方程为y-2=2（x+1），于是可得直线l的参数方程为．

（2）将圆（θ为参数）消去参数θ化为普通方程为（x-1）2+（y+2）2=1．

∵直线3x+4y+m=0与圆（x-1）2+（y+2）2=1没有公共点，∴圆心（1，-2）到直线的距离大于半径1，

∴＞1，解得m＜0，或m＞10．

∴实数m的取值范围为（-∞，0）∪（10，+∞）．

题型：简答题

简答题

已知直线l：x=4与x轴相交于点M，动点P满足PM⊥PO（O是坐标原点）．

（1）求动点P的轨迹C的方程；

（2）试在直线l上确定一点D（异于M点），过点D作曲线C的切线，使得切点E恰为切线与x轴的交点F与点D的中点．

正确答案

（1）依题意，M（4，0）…（1分）

设P（x，y）（x≠0且x≠4），由PM⊥PO，得•=0，即x（x-4）+y2=0…（4分）

整理得：动点P的轨迹C的方程为（x-2）2+y2=4（x≠0且x≠4）…（6分）

（2）因为DE、DM都是圆（x-2）2+y2=4的切线，所以DE=DM…（9分）

因为E点是DF的中点，所以DF=2DE=2DM，所以∠DFN=…（11分）

设C（2，0），在△CEF中，∠CEF=，∠CFE=，CE=2，

所以CF=4，FM=6…（13分）

从而DM=2，故D（4，±2）…（15分）

题型：简答题

简答题

已知与圆C：x2+y2-2x-2y+1=0相切的直线l交x轴、y轴于A、B两点，O为坐标原点，且|OA|=a，|OB|=b

（a＞2，b＞2）．

（1）求直线l与圆C相切的条件；

（2）在（1）的条件下，求线段AB的中点轨迹方程；

（3）在（1）的条件下，求△AOB面积的最小值．

正确答案

设直线l的方程为+=1，即bx+ay-ab=0，圆C的标准方程为（x-1）2+（y-1）2=1，圆心C（1，1），半径r=1．

（1）直线l与圆C相切，则=1，∴（a-2）（b-2）=2（4分）

（2）设线段AB的中点M（x，y），则x=，y=，即a=2x，b=2y，代入（a-2）（b-2）=2，得(x-1)(y-1)=(x＞1，y＞1)（8分）

（3）S△AOB=|ab|=a+b-1=（a-2）+（b-2）+3≥2+3=2+3

当且仅当a=b=2+时，△AOB的面积最小，最小值为2+3

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