- 函数的周期性
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设g(x) 是定义在R 上,以1为周期的函数,若函数f(x)=x+g(x) 在区间[0,1]上的值域为[-2,5],则f(x) 在区间[0,3]上的值域为______.
正确答案
g(x)为R上周期为1的函数,则g(x)=g(x+1)
函数f(x)=x+g(x)在区间[0,1]【正好是一个周期区间长度】的值域是[-2,5]…(1)
令x+1=t,当x∈[0,1]时,t=x+1∈[1,2]
此时,f(t)=t+g(t)=(x+1)+g(x+1)=(x+1)+g(x)
=[x+g(x)]+1
所以,在t∈[1,2]时,f(t)∈[-1,6]…(2)
同理,令x+2=t,在当x∈[0,1]时,t=x+2∈[2,3]
此时,f(t)=t+g(t)=(x+2)+g(x+2)=(x+2)+g(x)
=[x+g(x)]+2
所以,当t∈[2,3]时,f(t)∈[0,7]…(3)
由已知条件及(1)(2)(3)得到,f(x)在区间[0,3]上的值域为[-2,7]
故答案为:[-2,7].
已知函数f(x)=(+
)x3
(1)求f(x)的定义域.
(2)讨论f(x)的奇偶性.
正确答案
(1)由2x-1≠0⇒x≠0,
∴定义域为(-∞,0)∪(0,+∞);
(2)f(x)=(+
)x3可化为f(x)=
x3,
则f(-x)=(-x)3=
x3=f(x),
∴f(x)=(+
)x3是偶函数.
已知偶函数f (x),对任意x1,x2∈R,恒有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+2x1x2+1,求
(1)f (0)的值;
(2)f (x)的表达式;
(3)令F(x)=a[f(x)]2-2f(x) (a>0且a≠1),求F(x)在(0,+∞)上的最值.
正确答案
(1)令x1=x2=0,则有f(0)=f(0)+f(0)+1,故f(0)=-1
(2)令x1=x,x2=-x,则有f(x-x)=f(x)+f(-x)-2x2+1=-1
又∵f(x)为偶函数,故f(x)=f(-x),代入上式可得:f(x)=x2-1
(3)∵f(x)=x2-1,
∴F(x)=a(x2-1)2-2(x2-1)=ax4-4x2+3=a(x2-2)2-1,
∵(x2-2)2-1≥-1,
∴当a>1时,F (x)的最小值为,最大值不存在
当0<a<1时,F (x)的最大值为,最小值不存在
定义在R上的奇函数f(x),当x>0时,f(x)=2;则奇函数f(x)的值域是 ______.
正确答案
∵定义在R上的奇函数f(x),
∴f(-x)=-f(x),f(0)=0
设x<0,则-x>0时,f(-x)=-f(x)=-2
∴f(x)=
∴奇函数f(x)的值域是:{-2,0,2}
故答案为:{-2,0,2}
若函数f(x)=的定义域是R,求实数m的取值范围.
正确答案
函数f(x)=的定义域是R,
故有△=16m2-4(4m2+m+)<0即m+
>0恒成立,
即>0恒成立
由于分子恒大于0,故只需分母为正即可
故m-1>0恒成立,m>1
实数m的取值范围是m>1.
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