- 函数的周期性
- 共6029题
关于函数f(x)=
①函数f（x）的最小值为-1；
②函数f（x）在每一点处都连续；
③函数f（x）在R上存在反函数；
④函数f（x）在x=0处可导；
⑤对任意的实数x1＜0，x2＜0且x1＜x2，恒有f(
其中正确命题的序号是______．
正确答案
①由题意可得函数在x＜0时单调递减，在x＞0时单调递增，在点x=0处函数f（x）的最小值是-1，故①正确
②只需说明在点x=0处连续，只需说明在x=0时，两段都有意义且函数值相等；
③函数f（x）在R上不是单调函数，故不存在反函数，故③错误
④f′(x)=
⑤函数在R上先增后减，所以f（x）的图象在[0，+∞）上是上凸的，所以任取两点连线应在图象的上方，故⑤正确
故答案为：①②⑤
给出以下结论：
①函数y=2x与函数y=log2x的图象关于y轴对称；
②
③函数y=ln（1+x）-ln（1-x）为奇函数；
④函数f（x）的定义域为[-1，4]，则函数f（x2）的定义域为[-2，2]
其中正确的是______．
正确答案
由于函数y=2x与函数y=log2x的互为反函数，故它们的图象关于直线y=x对称，故①不正确．
由于
由于函数y=f（x）=ln（1+x）-ln（1-x）的定义域为（-1，1），关于原点对称，且f（-x）=ln（1-x）-ln（1+x）=-f（x），
故函数y=ln（1+x）-ln（1-x）为奇函数，故③正确．
由于函数f（x）的定义域为[-1，4]，可得-1≤x2≤4，解得-2≤x≤2，则函数f（x2）的定义域为[-2，2]，故④正确．
故答案为 ③④．
设函数f（x）=
（1）求它的定义域；
（2）判断它的奇偶性．
正确答案
（1）要使f（x）有意义，则1-x2≠0，
所以x≠±1，
所以函数f（x）的定义域为：{x|x≠±1，x∈R}．
（2）由（1）知f（x）的定义域为：{x|x≠±1，x∈R}，关于原点对称．
又f(-x)=
所以f（x）为偶函数．
已知函数f（x）=loga（x+1），g（x）=loga（1-x）（其中a＞0，且a≠1）
（1）求函数f（x）+g（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）-g（x）的奇偶性，并予以证明；
（3）求使f（x）+g（x）＜0成立的x的集合．
正确答案
（1）由题意得：
∴所求定义域为{x|-1＜x＜1，x∈R}；
（2）函数f（x）-g（x）为奇函数
令H（x）=f（x）-g（x），则H（x）=loga（x+1）-loga（1-x）=loga
∵H（-x）=loga
∴函数H（x）=f（x）-g（x）为奇函数；
（3）∵f（x）+g（x）=loga（x+1）+loga（1-x）=loga（1-x2）＜0=loga1
∴当a＞1时，0＜1-x2＜1，∴0＜x＜1或-1＜x＜0；
当0＜a＜1时，1-x2＞1，不等式无解
综上：当a＞1时，使f（x）+g（x）＜0成立的x的集合为{x|0＜x＜1或-1＜x＜0}．
下列命题中，正确命题的序号是 ______；
（1）奇函数f（x）在[3，4]上有最大值m，则在[-4，-3]上有最大值-m；
（2）函数f(x)=
（3）函数f(x)=lg(x+
（4）函数y=x+
正确答案
（1）根据奇函数图象的特点可知f（x）在[3，4]上有最大值m，则在[-4，-3]上有最小值-m；故不正确
（2）单调区间不能合并，函数f(x)=
（3）定义域为R，满足f（-x）=-f（x），函数f(x)=lg(x+
（4）函数y=x+
故答案为（3）
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