热门试卷

（1）令x1=x2=π，可得2f（π）=2f（π）f（0），

∵f（π）=-1，

∴得f（0）=1．

（2）令x1=x，x2=-x，可得f（x）+f（-x）=2f（x）•f（0）

∵f（0）=1∴f（x）=f（-x）

∴f（x）是偶函数；

令x1=π，x2=0，可得f(π)+f(0)=2f()f()

又∵f（0）=1，f（π）=-1∴f（0）+f（π）=0

∴得f()=0

令x1=x， x2=π-x，可得f(x)+f(π-x)=2f()f()=0

∴f（π-x）+f（x）=0．

（3）任取x1，x2∈（0，π），且x1＜x2

则f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(π-x2)=2f()•f()

∵x1，x2∈（0，π）∴0＜＜，-＜＜

由题意知-＜x＜时，f（x）＞0，

∴f()＞0且f()＞0

故f（x1）-f（x2）＞0

∴f（x）在（0，π）上单调递减．

（1）g（x）=a+，g（1）=a+2，g（-1）=a-4，

因为g（x）为奇函数，所以g（1）+g（-1）=0，解得a=1，

经检验，a=1时g（x）为奇函数，所以a=1．

（2）g（x）=f（2x）=a+，

设x1，x2∈（-∞，0）且x1＜x2，

则g（x1）-g（x2）=-=．

因为x1，x2∈（-∞，0）且x1＜x2，

所以1＞2x2＞2x1，所以g（x1）-g（x2）＞0，即g（x1）＞g（x2）．

根据函数单调性的定义知函数g（x）在（-∞，0）上为减函数．

（1）当a=1，b=2时，f(x)=(x-1)2+(

2

x

-1)2=（x2+）-2（x+）+2

令x+=t（t≥2），y=t2-2t-2=（t-1）2-3

∴函数在[2，+∞）上单调增，∴y≥6-4

∴f（x）的最小值为6-4；

（2）f（x）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，等价于f（x）min≥2m-1

f(x)=(

x

a

-1)2+(

b

x

-1)2=(

x

a

+

b

x

)2-2（+）-+2

令+=t（t≥2），则y=t2-2t-+2

∴函数在[2，+∞）上单调增，∴y≥2(-2+1)＞0

∴0≥2m-1

∴m≤0；

（3）因为（a2+b2）≥(

a+b

2

)2，所以(

x

a

-1)2+(

b

x

-1)2＞(

x

a

+

b

x

-2)2＞2(

b

a

-1)2

当a=k2，b=（k+c）2时，=(1+

c

k

)2；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，=(1+

c

k+c

)2

所以f1（x）+f2（x）＞2（）2+2（）2）＞（因为0＜a＜b，所以等号取不到）

解：（1）∵（x∈R），

∴，

∴f（x）是奇函数；

任取，

则，

∵，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴，

∴f（x）在R上是增函数；

（2）由（1）知，f (x)是奇函数且在R上是增函数，

于是

对任意x∈R恒成立，

，

，

∴，

∴当时，不等式f（x-k）+f（x2-k2）≥0对任意x∈R恒成立。