热门试卷

（1）证明：显然f（x）的定义域是R．设x∈R，

∵f（-x）=-（-x）3+3（-x）=-（-x3+3x）=-f（x），

∴函数f（x）是奇函数．

（2）设-1＜x1＜x2≤1，则f（x1）-f（x2）=（-x13+3x1）-（-x23+3x2）=（x1-x2）[3-（x12+x1x2+x22）]

∵x1＜x2，3-（x12+x1x2+x22）＞0

∴f（x1）-f（x2）＜0，

∴f（x）在（-1，1]上是增函数．

∴函数f（x）=-x3+3x的值域是（-2，2]．

∴当a在（-2，2]内取值时，关于x的方程f（x）=a在x∈（-1，1]上有解．

∵f（x）为奇函数，且在[0，+∞）上是增函数，则f（x）在R上为增函数，且f（0）=0，

所以原不等式可化为f（cos2θ-3）＞f（2mcosθ-4m），∴cos2θ-3＞2mcosθ-4m，即∴cos2θ-mcosθ+2m-2＞0．

令t=cosθ，则原不等式可转化为：

当t∈[-1，1]时，是否存在m∈R，使得g（t）=t2-mt+2m-2＞0恒成立．

由t2-mt+2m-2＞0，t∈[-1，1]，得m＞=t-2++4，t∈[-1，1]时，

令h(t)=(2-t)+≥2，即当且仅当t=2-时，h(t)min=2，

故m＞(t-2++4)max=4-2．

即存在这样的m，且m∈(4-2，+∞)．

（1）证明：任取x1＞x2＞0，

f（x1）-f（x2）=（-）-（-）=-=  …（1分）

∵x1＞x2＞0，∴x1x2＞0，x1-x2＞0，…（3分）

∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）

故f（x）在（0，+∞）上是增函数             …（5分）

（2）可得F(x)=f(x)-a=--a…（6分）

∴F(-x)=+-a，又因为F（-x）为奇函数，

所以 F(-x)+F(x)=-2a=0…（8分）

解得 a=1或 a=-1…（10分）

（3）由f()=t4+1得：t4+t2+1-=0，令 m=t2，（m＞0）…（12分）

所以本题等价于关于m的方程 m2+m+1-=0有正数解．   …（14分）

令F(m)=m2+m+1-，其对称轴为 m=-，

∴F（m）在区间(-，+∞)为增函数，

所以有 F(0)=1-＜0，解得0＜a＜1…（16分）

（1）由题意，f（-x）=-f（x），

∴=-

∴=-

∴a=-1；

（2）f(x)==-1+在R上为减函数，证明如下：

设x1＜x2，则f(x1)-f(x2)=-=

∵x1＜x2，∴2x2+1-2x1+1＞0

∴f（x1）-f（x2）＞0

∴f（x1）＞f（x2）

∴f（x）在R上为减函数；

（3）不等式f(x+-)≤-恒成立，等价于f(x+-)≤f(1)

∵f（x）在R上为减函数

∴x+-≤1

∴≤x+-1

∵x＞0，∴x+-1≥2-1

∴≤2-1

∴0≤m≤9-4．