- 函数的周期性
- 共6029题
已知函数f（x）=（2x-2-x）m+（x3+x）n+x2-1（x∈R）
（1）求证：函数g（x）=f（x）-x2+1是奇函数；
（2）若f（2）=8，求f（-2）的值．
正确答案
（1）证明：由题意知，g（x）=f（x）-x2+1=（2x-2-x）m+（x3+x）n，x∈R
设-x∈R，则g（-x）=（2-x-2x）m+（-x3-x）n=-（2x-2-x）m-（x3+x）n
∴g（-x）=-g（x），
∴函数g（x）是奇函数．
（2）令x=2和x=-2分别代入g（x）=f（x）-x2+1，
∴g（2）=f（2）-4+1 ①，g（-2）=f（-2）-4+1 ②，
由（1）得，g（x）=f（x）-x2+1是奇函数，则g（2）=-g（-2），
又∵f（2）=8，∴①+②得，f（-2）=-2．
已知函数f（x）=x2+4x+3，
（1）若g（x）=f（x）-cx为偶函数，求c．
（2）用定义证明：函数f（x）在区间[-2，+∞）上是增函数；并写出该函数的值域．
正确答案
（1）∵g（x）=f（x）-cx=x2+（4-c）x+3为偶函数
∴g（-x）=g（x）
∴（-x）2+（4-c）（-x）+3=x2+（4-c）x+3 …（2分）
∴4-c=-（4-c）
∴c=4 …（5分）
（2）证明：设-2≤x1＜x2 …（6分）
则f（x2）-f（x1）=x22 + 4x2+3-x12-4x1-3
=（x1+x2）（x2-x1）+4（x2-x1）
=（x2-x1）（x1+x2+4）…（8分）
∵-2≤x1＜x2
∴x2-x1＞0且x1+x2+4＞0
∴f（x2）-f（x1）＞0即f（x2）＞f（x1）
故 f（x）在[-2，+∞）单调递增 …（10分）
f（x）min=f（-2）=-1
所以函数的值域为[-1，+∞） …（12分）
已知函数f（x）=x3+（m-4）x2-3mx+（n-6）（x∈R）的图象关于原点对称， m，n为实数，
（1）求m，n的值；
（2）证明：函数f（x）在[-2，2]上是减函数；
（3）x∈[-2，2]时，不等式
正确答案
（1）解：∵
∴
即
比较系数，得m=4，n=6。
（2）证明： 由（1）知，
∴
由
∴函数
（3）解：由（2）知，函数
∴在区间[-2，2]上，
∴在区间[-2，2]上，不等式
就是
又由（1）知，m=4，n=6，
∴
∴
即的取值范围是
已知函数f(x)=x+
（1）判断并证明函数f（x）的奇偶性；
（2）判断并证明f（x）在区间（1，+∞）上的单调性．
正确答案
（1）函数f(x)=x+
由已知函数的解析式f(x)=x+
又∵f(-x)=-x+
∴函数f(x)=x+
（2）f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，理由如下：
任取x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，
∴x1-x2＜0，x1•x2＞1，x1•x2-1＞0，
又∵f（x1）-f（x2）=x1+
∴f（x1）-f（x2）＜0
即f（x1）＜f（x2）
故f（x）在区间（1，+∞）上为增函数．
已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数． 当a，b∈[-1，1]，且a+b≠0时，有
（Ⅰ）判断函f（x）的单调性，并证明；
（Ⅱ）若f（1）=1，且f（x）≤m2-2bm+1对所有x∈[-1，1]，b∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．
正确答案
（Ⅰ）f（x）在[-1，1]上为增函数
证明：设x1，x2∈[-1，1]，且x1＜x2，在
∵x1＜x2，∴x1-x2＜0，又∵f（x）是奇函数，
∴f（-x2）=-f（x2），∴
∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．
故f（x）在[-1，1]上为增函数…（6分）
（Ⅱ）∵f（1）=1 且f（x ）在[-1，1]上为增函数，对x∈[-1，1]，有f（x）≤f（1）=1．
由题意，对所有的x∈[-1，1]，b∈[-1，1]，有f（x）≤m2-2bm+1恒成立，
应有m2-2bm+1≥1⇒m2-2bm≥0． 记g（b）=-2mb+m2，对所有的b∈[-1，1]，g（b）≥0成立．
只需g（b）在[-1，1]上的最小值不小于零…（8分）
若m＞0时，g（b）=-2mb+m2是减函数，故在[-1，1]上，b=1时有最小值，
且[g（b）]最小值=g（1）=-2m+m2≥0⇒m≥2；
若m=0时，g（b）=0，这时[g（b）]最小值=0满足题设，故m=0适合题意；
若m＜0时，g（b）=-2mb+m2是增函数，故在[-1，1]上，b=-1时有最小值，
且[g（b）]最小值=g（-1）=2m+m2≥0⇒m≤-2．
综上可知，符合条件的m的取值范围是：m∈（-∞，-2]∪{0}∪[2，+∞）．
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