热门试卷

（1）证明：因为f（x）的定义域为{x∈R|x≠0}，且f(-x)=-x-=-f(x)，

故f（x）是奇函数；

（2）证明：设0＜x1＜x2≤a，则f(x1)-f(x2)=x1+-x2-=(x1-x2)(1-)．

因为0＜x1＜x2≤a，所以0＜x1x2＜a2，从而1-＜0且x1-x2＜0，故f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）．

因此函数f（x）在区间（0，a]上单调递减；同理可以证明函数f（x）在区间[a，+∞）上单调递增；

（3）∵f（x）是奇函数；在区间（0，a]上单调递减，在区间[a，+∞）上单调递增；

∴函数f（x）在区间（-∞，-a]上单调递增，在区间[-a，0）上单调递减，

综上所述：函数f（x）在区间（-∞，-a]上单调递增，在区间[-a，0）上单调递减，在（0，a]上单调递减，在[a，+∞）上单调递增．

（1）证明：令x=y=0，代入f（x）+f（y-x）=f（y），那么f（0）+f（0）=f（0），所以f（0）=0 再令y=0，那么f（x）+f（-x）=f（0）=0，所以f（-x）=-f（x），

所以函数y=f（x）是奇函数；

（2）函数y=f（x）在整个R上是减函数

证明：令y＞x，则y-x＞0，

∵f（x）+f（y-x）=f（y），

∴f（y）-f（x）=f（y-x），

因为当x＞0，f（x）＜0，而y-x＞0，所以f（y-x）＜0 所以f（y）-f（x）＜0，

即y＞x，f（y）＜f（x），

所以函数y=f（x）在整个R上是减函数；

（3）对任意t∈[1，2]，f（tx2-2x）＜f（t+2）恒成立

∴对任意t∈[1，2]，tx2-2x＞t+2恒成立

∴对任意t∈[1，2]，（x2-1）t-2x-2＞0恒成立，

令函数h（t）=（x2-1）t-2x-2

分三种情况：i、当x2-1=0时，x=1或-1，代入发现不符合（x2-1）t-2x-2＞0

ii、当x2-1＞0，即x＞1或x＜-1时，函数h（t）=（x2-1）t-2x-2是增函数，所以最小值为h（1）=x2-2x-3=（x+1）（x-3）＞0，

所以x＞3或x＜-1

所以最后符合的解是：x＞3或x＜-1

iii、当x2-1＜0，即-1＜x＜1时，函数h（t）=（x2-1）t-2x-2是减函数，所以最小值是h（2）=2x2-2x-4=2（x+1）（x-2）＞0，

所以x＞2或x＜-1，与-1＜x＜1矛盾

综上知x的范围是：x＞3或x＜-1

（Ⅰ）设x，x是R内任意两个值，且x1＜x2，则x2-x1＞0

y2-y1=f（x2）-f（x1）=-

==

当x1＜x2时，2x1＜2x2

∴2x2-2x1＞0．又2x1+1＞0，2x1+1＞0

∴y2-y1＞0

∴f（x）是R上的增函数．

（Ⅱ）：（1）∵2x=，又2x＞0，

∴-1＜y＜1

函数f（x）的值域为（-1，1）；

（Ⅲ）由题意知g（x）=•

易知函数g（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）

g（-x）=•=•=-•=-g（x）

∴函数g（x）为奇函数．

（1）由f（logax）=(x-x-1)，得f(x)=(ax-a-x)，…2’

因为定义域为R，

f(-x)=(a-x-ax)=-f（x）

所以f（x）为奇函数，…4’

因为f′(x)=(ax+a-x)，

当0＜a＜1及a＞1时，f′（x）＞0，

所以f（x）为R上的单调增函数；…6’

（2）由f（1-m）+f（1-m2）＜0，得f（1-m）＜-f（1-m2）=f（m2-1），，

又x∈（-1，1），则-1＜1-m＜1-m2＜1，得1＜m＜；…10’

（3）因为f（x）为R上的单调增函数，所以当x∈（0，2）时，f（x）-6的值恒为负数，

所以f（x）-6＜0恒成立，

则f（2）-6=(a2-a-2)-6≤0，…12’

整理得a2-6a+1≤0，所以3-2≤a≤3+2，

又a＞0且a≠1，所以实数a的取值范围是[3-2，1）∪（1，≤3+2]．…14’