热门试卷

（1）函数f（x）是奇函数．证明如下

证明：由题意可得函数的定义域关于原点对称

因为f（-x）=log2=log2=log2（）-1=-f（x），

所以函数f（x）是奇函数．

（2）f（x）在区间（，+∞）上的单调递减，证明如下

证明：令g（x）===1-

设

1

3

＜x1＜x2，则g（x1）-g（x2）=1--(1-)

=-=

∵

1

3

＜x1＜x2，则x1-x2＜0，(x1+)(x2+) ＞0

∴即g（x1）＜g（x2）

∴g（x）在（，+∞）上单调递减

由于y=log2g（x）在（0，+∞）单调递增，由复合函数的单调性可知y=log2在（，+∞）单调递减

（1）函数的定义域为：{x|x≠0}，

任意x∈{x|x≠0}，则f（-x）=-x+=-(x+) =-f(x)，

∴函数f（x）=x+是奇函数；

（2）∵函数g（x）=x+在区间（0，1）上是单调减函数，在区间（1，+∞）上是单调增函数，即：在区间（0，）上是单调减函数，在区间（，+∞）上是单调增函数；

函数g（x）=x+在区间（0，2）上是单调减函数，在区间（2，+∞）上是单调增函数，即：在区间（0，）上是单调减函数，在区间（，+∞）上是单调增函数；

∴猜测：函数g（x）=x+，（b＞0），x∈（0，+∞）的单调减区间为（0，b），单调增区间为（b，+∞）．

（3）由（2）可知，函数h（x）=x+，x∈（0，+∞）的单调减区间为（0，2），单调增区间为（2，+∞）．

 又由（1）可知，函数h（x）为奇函数．所以函数h（x）在（-2，0）上为减函数，在（-∞，-2）上为增函数．

∴函数h（x）=x+，x∈（-∞，0）在x=-2时取得最大值，最大值为：hmax（x）=-4．

（I）由f（1）=3得，2-a=3（2分）

∴a=-1（4分）

（II）由（I）得函数f(x)=2x+，

则函数f(x)=2x+的定义域为{x|x≠0}（5分）

∵f(-x)=2(-x)+=-2x-=-(2x+)=-f(x)（7分）

∴函数f(x)=2x+为奇函数．（8分）

（III）函数f（x）在（1，+∞）上是增函数，证明如下：

任取x1，x2∈（1，+∞），不妨设x1＜x2，则有（9分）

∵x1，x2∈（1，+∞）且x1＜x2

∴x1-x2＜0，2x1x2-1＞0，x1x2＞0

∴f（x1）-f（x2）＜0

即f（x1）＜f（x2）

∴函数f（x）在[1，+∞）上是增函数．（12分）

（1）∵f（x）为R上的奇函数，∴f（0）=0，可得b=1

又∵f（-1）=-f（1）

∴=-，解之得a=1

经检验当a=1且b=1时，f（x）=，满足f（-x）=-f（x）是奇函数．    …（4分）

（2）由（1）得f（x）==-1+，

任取实数x1、x2，且x1＜x2

则f（x1）-f（x2）=-=

∵x1＜x2，可得2x1＜2x2，且(2x1+1)(2x2+1)＞0

∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），函数f（x）在（-∞，+∞）上为减函数；     …（8分）

（3）根据（1）（2）知，函数f（x）是奇函数且在（-∞，+∞）上为减函数．

∴不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0恒成立，即f（t2-2t）＜-f（2t2-k）=f（-2t2+k）

也就是：t2-2t＞-2t2+k对任意的t∈R都成立．

变量分离，得k＜3t2-2t对任意的t∈R都成立，

∵3t2-2t=3（t-）2-，当t=时有最小值为-

∴k＜-，即k的范围是（∞，-）．                                  …（12分）