热门试卷

（1）证明：f（x）的定义域为R，…（1分）

且对于任意x∈R，f（-x）=2-x+2x=f（x），所以f（x）是偶函数．…（4分）

（2）f（x）是（0，+∞）上的增函数．…（5分）

证明如下：设x1，x2是（0，+∞）上的两个任意实数，且x1＜x2，则△x=x1-x2＜0，△y=f(x1)-f(x2)=(2x1+)-(2x2+)=2x1-2x2+-=2x1-2x2+=(2x1-2x2)(1-)．

因为0＜x1＜x2，所以 2x1＜2x2，2x1+x2＞1，所以2x1-2x2＜0，1-＞0，从而△y＜0，

所以f（x）是（0，+∞）上的增函数．…（10分）

（1）由已知定义域为R，f(-x)==f(x)，∴函数f（x）为偶函数；

（2）证明：设任意的x1＜x2＜0，

则f（x1）-f（x2）=-=，

∵x1＜x2＜0，∴x2-x1＞0，x2+x1＜0，(1+x12)(1+x22)＞0，

∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．

∴f（x）在（-∞，0）上是增函数．

由f（x）+f（-x）=0，⇒f（-x）=-f（x），

得函数f（x）为奇函数，

又在R上为单调减函数

∴f（1-m）+f（1-m2）＜0即f（1-m）＜-f（1-m2），

∴f（1-m）＜f（m2-1），

1-m＞m2-1，

∴-2＜m＜1．

∴m的取值范围为：（-2，1）．

解（1）当x∈[-，0]时，-x∈[0，]．

∴f（-x）=-（-x）2-（-x）+5=-x2+x+5．又∵f（x）是偶函数，

∴f（x）=f（-x）=-x2+x+5．

∴f（x）=

（2）由题意，不妨设A点在第一象限，

坐标为（t，-t2-t+5），其中t∈（0，]．

由图象对称性可知B点坐标为（-t，-t2-t+5）．

则S（t）=S矩形ABCD=2t（-t2-t+5）=-2t3-2t2+10t．

s′（t）=-6t2-4t+10．由s′（t）=0，得t1=-（舍去），t2=1．

当0＜t＜1时，s′（t）＞0；t＞1时，s′（t）＜0．

∴S（t）在（0，1]上单调递增，在[1，]上单调递减．

∴当t=1时，矩形ABCD的面积取得极大值6，

且此极大值也是S（t）在t∈（0，]上的最大值．

从而当t=1时，矩形ABCD的面积取得最大值6．