热门试卷

证明：（1）∵对任意实数x，恒有f（x+1）=f（1-x）

∴f（x）=f（2-x）

∵f（x）为奇函数

∴f（-x）=-f（x）

∴f（2-x）=-f（-x）即f（2+x）=-f（x）

∴f（4+x）=f[2+（2+x）]=-f（2+x）=f（x）

∴函数f（x）是以4为周期的周期函数

（2））∵x∈[0，2]时，f（x）=2x-x2．

当x∈[-2，0]时，可得f（x）=2x+x2

设x∈[2，4]，则x-4∈[-2，0]

∴f（x-4）=2（x-4）+（x-4）2=f（x）

∴f（x）=x2-6x+8

（3）∵f（1）=1，f（2）=0，f（3）=-1，f（4）=0

f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2013）

=503[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）

=1

（1）因为函数f（x）的定义域为R，又f（-x）=（a-x-ax）=-f（x）

所以f（x）是奇函数

当a＞1，函数f（x）为R上的增函数．

证明：在R上任取x1＜x2，则 f(x1)-f(x2)=(ax1-a-x1-ax2+a-x2)

=(ax1-ax2)  ()

因为x1＜x2，又a＞1，所以 ax1＜ax2，ax1-ax2＜0，＞0，＞0

∴f（x1）-f（x2）＜0

所以f（x1）＜f（x2）．

所以函数f（x）为R上的增函数

同理，当0＜a＜1时，函数f（x）为R上的增函数

（2）由f（1-t）+f（1-t2）＜0，可得f（1-t）＜-f（1-t2）．

由函数f（x）是奇函数，可得f（1-t）＜f（t2-1）．

又函数f（x）为R上的增函数，所以1-t＜t2-1，即t2+t-2＞0．

∴1＜t＜

解：由题意，知2a2+a+1＞0，2a2-2a+3＞0，

实数集R上的偶函数f(x)在(-∞，0)上是增函数，f(x)在(0，+∞)上是减函数，

∴2a2+a+1＞2a2-2a+3，

化简，得3a＞2，

解得：a＞，

即a的取值范围是（，+∞）。

（1）∵f（x）的定义域为R，设x1＜x2，

则f(x1)-f(x2)=a--a+=，（3分）

∵x1＜x2，∴2x1-2x2＜0，(1+2x1)(1+2x2)＞0，（5分）

∴f（x1）-f（x2）＜0，

即f（x1）＜f（x2），所以不论a为何实数f（x）总为增函数．（6分）

（2）假设存在实数a使f（x）为奇函数，∴f（-x）=-f（x）（7分）

即a-=-a+，（9分）

解得：a=1，故存在实数a使f（x）为奇函数．  （12分）