热门试卷

由题意，函数f（x）的定义域为实数集

∴f（x）在（-∞，+∞）上连续

∵函数f（x）为奇函数，在[0，+∞）上是增函数，

故f（x）在（-∞，+∞）上为增函数

由f（0）=-f（-0），得f（0）=0

f（4m-2mcosθ）-f（2sin2θ+2）＞f（0）=0

移向变形得f（4m-2mcosθ）＞f（2sin2θ+2）

∴由f（x）（-∞，+∞）上连续且为增函数，得

4m-2mcosθ＞2sin2θ+2

∴2cos2θ-4-2mcosθ+4m＞0

cos2θ-mcosθ+（2m-2）＞0

根据题意，0≤θ≤时，0≤cosθ≤1

方法（1）

令t=cosθ∈[0，1]

则问题等价于t∈[0，1]时，t2-mt+（2m-2）＞0恒成立，求m的取值范围

令f（t）=t2-mt+（2m-2），此函数对应的抛物线开口向上，对称轴t=，

分类讨论：

①当此抛物线对称轴t=在区间[0，1]内时，m∈[0，2]，

函数最小值（2m-2）-＞0即可，此时m2-8m+8＜0，

∴4-2＜m≤2

②当对称轴在（-∞，0）时，m＜0，

只要f（0）＞0即可，此时2m-2＞0，推出m＞1，与m＜0矛盾，此情况不成立，舍去

③当对称轴在（1，+∞）时，m＞2，

只要f（1）＞0即可，此时1-m+2m-2=m-1＞0，推出m＞1，

∴m＞2

综上所述，m的取值范围是（4-2，+∞）

方法（2）：参数分离法

由cos2θ-mcosθ+（2m-2）＞0，得cos2θ-2+m（2-cosθ）＞0，即m（2-cosθ）＞2-cos2θ

因为0≤cosθ≤1，所以m＞=．

因为===cosθ-2++4，

因为0≤cosθ≤1，所以cosθ-2＜0，

所以原式=-[(2-cosθ)+]+4≤-2+4=4-2，

当且仅当2-cosθ=，即（2-cosθ）2=2，2-cosθ=，cosθ=2-时取等号．

所以的最大值为4-2，所以m＞4-2．

所以m的取值范围是（4-2，+∞）．

（1）当a=0时，f（x）=x|x|，所以f（x）为奇函数…（1分）

因为定义域为R关于原点对称，且f（-x）=-x|-x|=-f（x），所以f（x）为奇函数．…（3分）

当a≠0时，f（x）=x|x-a|为非奇非偶函数，…（4分）

f（a）=0，f（-a）=-a|2a|，所以f（-a）≠f（a），f（-a）≠-f（a）

所以f（x）是非奇非偶函数．…（6分）

（2）当a=0时，f(x)=，f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞）；…（8分）

当a＞0时，f(x)=

f（x）的单调递增区间为(-∞，)和（a，+∞）；…（10分）

f（x）的单调递减区间为(，a)；…（12分）

当a＜0时，f(x)=

f（x）的单调递增区间为（-∞，a）和(，+∞)；…（14分）

f（x）的单调递减区间为(a，)…（16分）

（1）∵f（x）的定义域关于原点对称，x1，x2是定义域中的数时，

有f（x1-x2）=；

且x1-x2，-（x1-x2）在定义域中，

∴f[-（x1-x2）]=f（x2-x1）==-=-f（x1-x2）；

∴f[-（x1-x2）]=-f（x1-x2）

⇒f（-x）=-f（x）

∴f（x）是奇函数．

（2）设0＜x1＜x2＜2a，则0＜x2-x1＜2a，

∵在（0，2a）上，f（x）＜0，

∴f（x1），f（x2），f（x2-x1）均小于零，

进而知f（x2-x1）=中，f（x1）-f（x2）＜0，

于是f（x1）＜f（x2），

∴在（0，2a）上，f（x）是增函数．

又f（a）=f（2a-a）=，

∵f（a）=-1，∴-1=，

∴f（2a）=0，设2a＜x＜4a，则0＜x-2a＜2a，

f（x-2a）==＜0，于是f（x）＞0，

即在（2a，4a）上，f（x）＞0．

设2a＜x1＜x2＜4a，则0＜x2-x1＜2a，

从而知f（x1），f（x2）均大于零，f（x2-x1）＜0，

∵f（x2-x1）=，

∴f（x1）-f（x2）＜0，即

f（x1）＜f（x2），即f（x）在（2a，4a）上也是增函数．

综上所述，f（x）在（0，4a）上是增函数．

（1）令m=n=0得f（0）+f（0）=f（0）⇒f（0）=0

∴f（-m）+f（m）=f（0）=0⇒f（-m）=-f（m）

∴f（x）在（-1，1）上是奇函数．

（2）∵f(m)+f(n)=f()，

当-1＜m＜n＜1时，＜0，由条件知f（）＞0，

即f（m）-f（n）＞0∴f（x）在（-1，1）上是减函数．

（3）证明：∵f()=f（）=f[]

=f（）+f（）=f（）-f（）

∴f()+f()+…+f()

=f（）-f（）+f（）-f（）+…+f（）-f（）

=f（）-f（）

∵0＜＜1

∴f（）＜0

∴f（）-f（）＞f（）

∴f()+f()+…+f()＞f()．