- 函数的周期性
- 共6029题
已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若a，b∈[-1，1]，a+b≠0时，都有
（1）证明函数a=1在f（x）=-x2+x+lnx上是增函数；
（2）解不等式：f（
（3）若f′(x)=-2x+1+
正确答案
（1）设-1≤x1＜x2≤1
∵f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，
∴f（x2）-f（x1）=f（x2）+f（-x1）．
又x1＜x2，∴x2+（-x1）=x2-x1＞0，由题设有
∴f（x2）+f（-x1）＞0即f（x2）＞f（x1）∴f（x）在[-1，1]上是增函数
（2）由（1）知：f(
⇔
⇔x＞1
∴原不等式的解集为x＞1．
（3）由（1）知f（x）≤m2-2pm+1对任意x∈[-1，1]恒成立
只需1≤m2-2pm+1对p∈[-1，1]恒成立，即m2-2pm≥0对p∈[-1，1]恒成立设g（p）=m2-2mp，则
∴m的取值范围是（-∞，-2]∪[2，+∞）∪{0}．
已知函数f（x）=loga
（1）求m的值；
（2）判断f（x）在区间（1，+∞）上的单调性并加以证明．
（3）当a＞1，x∈（r，a-2）时，f（x）的值域是（1，+∞），求a与r的值．
正确答案
（1）由f（x）=loga
f（-x）=-f（x）
即loga 
log a 
（2）由（1）得，f（x）=loga 
任取x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，令t（x）=
则t（x1）-t（x2）=
∵x1＞1，x2＞1，x1＜x2
∴x1-1＞0，x2-1＞0，x2-x1＞0
∴t（x1）＞t（x2）
∴当a＞1时，loga 
f（x）在（1，+∞）上是减函数；当0＜a＜1时，f（x）在（1，+∞）上是增函数．
（3）因为x∈（r，a-2），定义域D=（-∞，-1）∪（1，+∞），
1°当r≥1时，则1≤r＜a-2，即a＞3，…（14分）
所以f（x）在（r，a-2）上为减函数，值域恰为（1，+∞），所以f（a-2）=1，…（15分）
即loga
所以a=2+
2°当r＜1时，则（r，a-2）⊈（-∞，-1），所以0＜a＜1，这与a＞1不合，
所以a=2+
函数f(x)=
（I）求函数f（x）的解析式；
（II）用单调性定义证明函数f（x）在（0，1）上是增函数．
正确答案
（ I）∵函数f（x）是定义在（-1，1）上的奇函数，f（-x）=-f（x）…（2分）
故
所以b=0，…（4分）
所以 f(x)=
（ II） 设0＜x1＜x2＜1，△x=x2-x1＞0，…（6分）
则△y=f（x2）-f（x1）=
∵0＜x1＜x2＜1，
∴△x=x2-x1＞0，1-x1x2＞0…（10分）
∴而 1+
∴△y=f（x2）-f（x1）＞0…（11分）
∴f（x）在（0，1）上是增函数．…（12分）
已知f(x)=loga
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）函数f（x）的零点是否存在？若存在，试求出其零点；若不存在，请说明理由．
（3）讨论f（x）函数的单调性．
正确答案
（1）∵函数f（x）的定义域为（-1，1），它关于原点对称，
又f（-x）=loga
所以函数f（x）是奇函数；
（2）令f（x）=loga
又0∈（-1，1），
故f（x）有零点0；
（3）设-1＜x1＜x2＜1，
则f（x1）-f（x2）=loga
∵-1＜x1＜x2＜1，∴0＜1-x2＜1-x1＜2，0＜1+x1＜1+x2＜2，
∴0＜
∴0＜
当0＜a＜1时，f（x1）-f（x2）＞0，
∴函数f（x）是在定义域上减函数．
当a＞1时，f（x1）-f（x2）＜0，函数f（x）在定义域上是增函数．
已知函数f(x)=
(1)判断f(x)的奇偶性；
(2)确定f(x)在(-∞，0)上是增函数还是减函数？在区间(0，+∞)上呢？证明你的结论．
正确答案
解：(1)因为f(x)的定义域为R，
又f(-x)=
所以f(x)为偶函数．
(2)f(x)在(-∞，0)上是增函数，由于f(x)为偶函数，所以f(x)在(0，+∞)为减函数．
证明：取
因为x1＜x2＜0，
所以
所以f(x1)-f(x2)＜0，
所以f(x)在(-∞，0)上为增函数．
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