热门试卷

（1）m是奇数时，定义域是{ x|x≠0}，

f（-x）=-f（x），f（x）为奇函数，

m为偶数时，定义域是{ x|x≠0}，

f（-x）≠-f（x）且f（-x）≠f（x），

f（x）既不是奇函数也不是偶函数；

（2）由f(4)=，得m=2，∴f(x)=x2+，

f（x）在（1，+∞）上的单调增函数，

证明：设a＞b＞1，f（a）-f（b）=a2+-b2-=（a+b）（a-b）-

=（a-b）（a+b-）

∵a＞b＞1，∴a-b＞0，a+b＞，∴（a-b）（a+b-）＞0，

∴f（a）-f（b）＞0，f（x）在（1，+∞）上的单调增函数．

（1）∵定义域{x|x≠kπ，k∈Z}关于原点对称，

又f（-x）=f[（a-x）-a]

===

==-f(x)，

对于定义域内的每个x值都成立

∴f（x）为奇函数

易证：f（x+4a）=f（x），周期为4a．

（2）f（2a）=f（a+a）=f[a-（-a）]

===0，

f（3a）=f（2a+a）=f[2a-（-a）]

===-1．

先证明f（x）在[2a，3a]上单调递减为此，必须证明x∈（2a，3a）时，f（x）＜0，

设2a＜x＜3a，则0＜x-2a＜a，

∴f（x-2a）==＞0，∴f（x）＜0

设2a＜x1＜x2＜3a，

则0＜x2-x1＜a，∴f（x1）＜0f（x2）＜0，f（x2-x1）＞0，

∴f（x1）-f（x2）=＞0，∴f（x1）＞f（x2），

∴f（x）在[2a，3a]上单调递减

∴f（x）在[2a，3a]上的最大值为f（2a）=0，最小值为f（3a）=-1

∵y=f（x）定义在[-1，1]上

∵f（x）在[-1，1]上是减函数

∴（4分）

∴1≤a≤（8分）

∵f（a2-a-1）+f（4a-5）＞0

∴f（a2-a-1）＞-f（4a-5）

∵f（x）是奇函数

∴f（a2-a-1）＞f（5-4a）（10分）

∴a2-a-1＜5-4a即a2+3a-6＜0（12分）

∴＜x＜（14分）

∴1≤x＜

∴a的取值范围是[1，)（16分）

（1）令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1），∴f（1）=0；

令x=y=-1，则f（1）=f（-1）+f（-1），∴f（-1）=0；

（2）f（x）是偶函数，证明如下

令y=-1，∵f（xy）=f（x）+f（y），∴f（-x）=f（x）+f（-1），

∵f（-1）=0，∴f（-x）=f（x），∵f（x）不恒为0，∴f（x）是偶函数；

（3）∵f（x+1）-f（2-x）≤0，∴f（x+1）≤f（2-x）

∵f（x）是偶函数，∴f（|x+1|）≤f（|2-x|）

∵x＞0时，f（x）为增函数，

∴|x+1|≤|2-x|

∴x≤

∴满足不等式f（x+1）-f（2-x）≤0的x取值集合为{x|x≤}．