函数的周期性
共6029题

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函数的周期性
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题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=．

（1）判断其奇偶性；

（2）指出该函数在区间（0，1）上的单调性并证明；

（3）利用（1）、（2）的结论，指出该函数在（-1，0）上的增减性．

正确答案

（1）函数的定义域为R

∵f(-x)==-=-f(x)

∴f（x）是奇函数；

（2）函数f（x）在（0，1）上是增函数

证明：任取x1、x2满足0＜x1＜x2＜1则

f（x1）-f（x2）=-=

∵0＜x1＜x2＜1，

∴x1-x2＜0，0＜x1x2＜1，

∴f（x1）＜f（x2）

因此函数f（x）在（0，1）上是递增函数；

（3）由于f（x）是R上的奇函数，在（0，1）上又是递增函数，

因而该函数在（-1，0）上也是增函数．

题型：简答题

简答题

设函数f（x）=ax，g（x）=|x-a|，a∈R．

（1）当a=2时，解不等式f（x）＞g（x）；

（2）记F（x）=f（x）-g（x），判断F（x）的奇偶性，并说明理由；

（3）设G（x）=f（x）g（x），且G（x）在[1，+∞）上递增，求实数a的取值范围．

正确答案

（1）2x＞|x-2|⇔-2x＜x-2＜2x，得解集为(，+∞)…（4分）

（2）F（x）=ax-|x-a|，

当a=0时，F（x）=-|x|，F（-x）=-|-x|=-|x|，

所以F（x）=F（-x），F（x）为偶函数；…（6分）

当a≠0，F（a）=a2，F（-a）=-a2-2|a|

∴F（a）+F（-a）=-2|a|≠0

F（a）-F（-a）=2a2+2|a|≠0

所以，F（x）为非奇非偶函数． …（10分）

（3）G(x)=ax|x-a|=，…（12分）

①当a=0时，G（x）=0是常数函数，不合题意．

当a＞0时，G（x）在[a，+∞）和(-∞，]上递增，所以a∈（0，1]．…（15分）

②当a＜0时，G（x）在[a，]上递增，在[，+∞)和（-∞，a]上递减，不合题意．

综上所述，实数a的取值范围是（0，1]…（18分）

题型：简答题

简答题

已知函数f(x)=x2++alnx(x＞0)，

（Ⅰ）若f（x）在[1，+∞）上单调递增，求a的取值范围；

（Ⅱ）若定义在区间D上的函数y=f（x）对于区间D上的任意两个值x1、x2总有以下不等式[f(x1)+f(x2)]≥f()成立，则称函数y=f（x）为区间D上的“凹函数”．试证当a≤0时，f（x）为“凹函数”．

正确答案

题型：简答题

简答题

已知函数f(x)=(a，c∈R，a＞0，b是自然数）是奇函数，f（x）有最大值，且f(1)＞，试求函数f（x）的解析式．

正确答案

由f（x）为奇函数得f（-x）+f（x）=0，即+=0，

∴c=0．

又a＞0，b是自然数，

∴当x＜0时，f（x）＜0，

当x＞0时，f（x）＞0，

故f（x）的最大值必在x＞0时取得；

当x＞0时，f（x）==≤，

当且仅当ax=，即x=时取得=，即a=b2，

又f（1）＞，

∴＞，

∴2b2-5b+2＜0，即（2b-1）（b-2）＜0，

∴＜b＜2 又a＞0，b是自然数可得a=b=1，

∴f（x）=．

题型：简答题

简答题

已知f(x)=2x+，且f(0)=2

（1）求m的值；

（2）判断f（x）的奇偶性．

正确答案

（1）∵f(x)=2x+，f（0）=2，∴1+m=2，∴m=1；

（2）函数的定义域为R，

∵f(-x)=2-x+=+2x=f（x）

∴函数f（x）是偶函数．

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