- 函数的周期性
- 共6029题
已知f（x）为R上的奇函数，且f（x+2）=f（x），若f（1+a）=1，则f（1-a）=______．
正确答案
因为f（x+2）=f（x），所以函数的周期是2，
因为f（1+a）=1，所以f（1+a）=f（1+a-2）=f（a-1）=1，
又因为函数f（x）为R上的奇函数，所以f（1-a）=-f（a-1）=-1．
故答案为：-1．
已知函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf（x+1）=（1+x）f（x），则f（f（
正确答案
由xf（x+1）=（1+x）f（x）可得
-
∴f（
又∵-1×f（-1+1）=（1-1）f（-1）
∴-f（0）=0f（-1）=0
即f（0）=0
∴f（f（
故答案为：0
设函数f（x）=lg（x+
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并给予证明；
（2）证明函数f（x）在其定义域上是单调增函数；
正确答案
（1）它是奇函数．
由
即所给函数的定义域为R，显然它关于原点对称，
又∵f(-x)=lg(-x+
∴函数f（x）是奇函数．
（2）证明：设x1，x2∈R，且x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=lg
令t=x+
=（x1-x2）+（
=
∵x1-x2＜0，
∴t1-t2＜0，∴0＜t1＜t2，∴0＜
∴f（x1）-f（x2）＜lg1=0，即f（x1）＜f（x2），
∴函数f（x）在R上是单调增函数．
三个函数①y=
正确答案
解①∵定义域为：{x|x≠0，x∈R}
∵f（-x）=-
∴f（x）是奇函数．
f′（x）=-
②定义域为：x∈R，
∵f（-x）=2x（≠f（x）≠-f（x）
非奇非偶
③定义域为：{x|x≠0，x∈R}
f（-x）=-f（x）是奇函数．
又∵y′（x）=-3x2≤0
∴f（x）是单调减函数
故答案为：③
设函数f（x）=x2+|x-2|-1，x∈R．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）求函数f（x）的最小值．
正确答案
（1）f（x）=
若f（x）奇函数，则f（-x）=-f（x）所以f（0）=-f（0），即f（0）=0．
∵f（0）=1≠0，
∴f（x）不是R上的奇函数．
又∵f（1）=1，f（-1）=3，f（1）≠f（-1），
∴f（x）不是偶函数．
故f（x）是非奇非偶的函数．
（2）当x≥2时，f（x）=x2+x-3，为二次函数，对称轴为直线x=-
则f（x）为[2，∞）上的增函数，此时f（x）min=f（2）=3．
当x＜2时，f（x）=x2-x+1，为二次函数，对称轴为直线x=
则f（x）在（-∞，
此时f（x）min=f（
综上，f（x）min=
扫码查看完整答案与解析