- 函数的周期性
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已知函数f(x)=
（1）判断f（x）的奇偶性并给予证明；
（2）求满足f（x）≥0的实数x的取值范围．
正确答案
（1）函数为奇函数；
函数的定义域为（-2，0）∪（0，2），函数可化为f(x)=
∵f(-x)=
∴f（x）是奇函数
（2）∵f（x）≥0，∴
已知定义在R上的奇函数f（x）单调递增，若f（x2-2x+a）+f（2-ax）＞0对x∈（1，+∞）恒成立，则实数a的取值范围为______．
正确答案
∵函数f（x）是定义在R上的奇函数f（x）单调递增，
若f（x2-2x+a）+f（2-ax）＞0在x∈（1，+∞）恒成立，
即f（x2-2x+a）＞-f（2-ax）=f（ax-2）
即x2-2x+a＞ax-2
即x2-2x+2＞ax-a
即a＜
∵x∈（1，+∞）时，（x-1）+
故a＜2
故实数a的取值范围为（-∞，2）
故答案为：（-∞，2）
函数f(x)=
正确答案
根据题意，由增函数的定义知，此函数是一个增函数；
故有
则a的取值范围是[-1，3）
故答案为[-1，3）
已知函数f（x）=
（1）判断函数f（x）在（-∞，-1）上的单调性，并给出证明；
（2）是否存在负数x0，使得f（x0）=3x0成立，若存在求出x0；若不存在，请说明理由．
正确答案
（1）f(x)=
下面用定义给出证明：
设x1＜x2＜-1，则f(x1)-f(x2)=
∵x2-x1＞0，x1+1＜0，x2+1＜0，∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
∴f（x）在（-∞，-1）上为减函数．
（2）∵x0＜0时，0＜3x0＜1，
由（1）知，f（x）在（-∞，-1），（-1，+∞）上为减函数，
当x＜-1时，f（x）＜-1，当-1x＜0时，x＞2，故当x0＜0时，f（x）＞2或f（x）＜-1，
故不存在负数x0，使得f（x0）=3x0成立．
设0＜a＜1，f(logax)=
（Ⅰ）求f（x）的表达式，并指出其奇偶性、单调性（不必写出证明过程）；
（Ⅱ）解关于x的不等式：f（ax）+f（-2）＞f（2）+f（-ax）
（Ⅲ）（理）当n∈N时，比较f（n）与n的大小．
（文）若f（x）-4的值仅在x＜2时取负数，求a的取值范围．
正确答案
（Ⅰ）令t=logax，则x=at，∴f(t)=
∵f（-x）=f（x），∴奇函数．∵0＜a＜1，∴函数为增函数（2分）
（Ⅱ）∵f（ax）-f（2）＞f（2）-f（ax）
∴f（ax）＞f（2），ax＞2，
∵0＜a＜1，∴x＜loga2（4分）
（Ⅲ）（理料）f（1）=1，（1分）
当n≥2时，f（n）=
=
或用数学归纳法证明：f（k+1）=af（k）+a-k＞ak+ak-k∵0＜a＜1，
∴可令
（文科）∵f(x)＜4⇔x＜2⇔f(x)＜f(2)∴f(2)=4，a=2-
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