- 函数的周期性
- 共6029题
奇函数f（x）满足f（x+3）=f（x）．当x∈[0，1]时，f（x）=3x-1，则f(log1336)的值______．
正确答案
∵f（x）奇函数，∴f（-x）=-f（x）
又∵当x∈[0，1]时，f（x）=3x-1，
当x∈[-1，0]时，-x∈[0，1]
此时-f（x）=f（-x）=3-x-1
∴f（x）=1-3-x
又∵-3=log1327＞log1336＞log1381=-4
∴-1＜log1336+3＜0
又由f（x+3）=f（x）
得f(log1336)=f(log1336+3)=1-3-(log1336+3)=1-
故答案为：-
设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2-3，则f（-2）=______．
正确答案
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
当x＞0时，f（x）=x2-3，
∴f（2）=22-3=1
∴f（-2）=-f（2）=-1，
故答案为：-1
设函数f(x)=
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；
（2）若0＜x＜1，判断f（x）的单调性，用定义证明，并比较f（sinα）与f(cosα)(0＜α＜
正确答案
（1）函数的定义域关于原点对称，
因为f(-x)=
所以函数f（x）是奇函数．
（2）设0＜x1＜x2＜1，
则f(x2)-f(x1)=
因为0＜x1＜x20，x1x2＜1，
所以f(x2)-f(x1)=(x2-x1)⋅
即f（x2）＜f（x1），所以函数在（0，1）上为单调减函数．
当0＜α＜
当α=
当
证明：函数 f（x）=x2-1是偶函数，且在[0，+∞）上是增加的．
正确答案
证明：∵f（-x）=（-x）2-1=x2-1=f（x），
∴函数 f（x）=x2-1是偶函数；
又当x≥0时，f′（x）=2x≥0，
∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，即f（x）在[0，+∞）上是增加的．
我们把定义在R上，且满足f（x+T）=af（x）（其中常数a，T满足a≠1，a≠0，T≠0）的函数叫做似周期函数．
（1）若某个似周期函数y=f（x）满足T=1且图象关于直线x=1对称．求证：函数f（x）是偶函数；
（2）当T=1，a=2时，某个似周期函数在0≤x＜1时的解析式为f（x）=x（1-x），求函数y=f（x），x∈[n，n+1），n∈Z的解析式；
（3）对于确定的T＞0且0＜x≤T时，f（x）=3x，试研究似周期函数函数y=f（x）在区间（0，+∞）上是否可能是单调函数？若可能，求出a的取值范围；若不可能，请说明理由．
正确答案
（1）∵x∈R关于原点对称，
又函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，f（1-x）=f（1+x）①
又T=1，∴f（x+1）=af（x），②，
用-x代替x得f（-x+1）=af（-x），③
由①②③可知af（x）=af（-x），∵a≠1且a≠0，∴f（x）=f（-x）．即函数f（x）是偶函数；
（2）当n≤x＜n+1（n∈Z）时，0≤x-n＜1（n∈Z）f（x）=2f（x-1）=22f（x-2）=…=2nf（x-n）=2n（x-n）（n+1-x）；
（3）当nT＜x≤（n+1）T（n∈N）时，0＜x-nT≤T（n∈N）f（x）=af（x-T）=a2f（x-2T）=…=anf（x-nT）=an3x-nT
显然a＜0时，函数y=f（x）在区间（0，+∞）上不是单调函数，
又a＞0时，f（x）=an3x-nT，x∈（nT，（n+1）T]，n∈N是增函数，
此时f（x）∈（an，an3T]，x∈（nT，（n+1）T]，n∈N，
若函数y=f（x）在区间（0，+∞）上是单调函数，那么它必须是增函数，则必有an+1≥an3T，
解得a≥3T．
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