- 函数的周期性
- 共6029题
奇函数f(x)在[3,7]上是减函数,在区间[3,6]上的最大值为8,最小值为-1,则2f(-6)+f(-3)=______.
正确答案
∵函数f(x)在[3,7]上是减函数,
在区间[3,6]上的最大值为8,最小值为-1,
∴函数f(x)在[-7,-3]上也是减函数,
区间[-6,-3]上的最大值为f(-6)=1,最小值为f(-3)=-8,
∴2f(-6)+f(-3)=2-8=-6
故答案为-6
已知函数f(x)=4x-a•2x+1+9,x∈[0,2],
(1)当a=4,证明:函数y=f(x)是[0,2]上的单调递减函数;
(2)若函数y=f(x)是[0,2]上的单调函数,求a取值范围;
(3)若f(x)≥0在[0,2]上恒成立,求a取值范围.
正确答案
(1)a=4时,f(x)=4x-4•2x+1+9=4x-8•2x+9,x∈[0,2],
设t=2x,得t∈[1,4],
f(x)=g(t)=t2-8t+9=(t-4)2-7
∵t=2x在区间[0,2]上是增函数,且g(t)=(t-4)2-7在区间[1,4]上是减函数,
∴f(x)=4x-4•2x+1+9在区间[0,2]上是单调递减函数;
(2)令t=2x,得t∈[1,4],f(x)=g(t)=t2-2at+9,
∵t=2x在[0,2]上是增函数,且g(t)=t2-2at+9在(-∞,a]或[a,+∞)上是单调函数
∴区间[1,4]是(-∞,a]的子集,或[1,4]是[a,+∞)的子集
由此可得a≥4或a≤1,即a的取值范围为(-∞,1]∪[4,+∞);
(3)由(2)可得
①当a≤1时,f(x)在区间[0,2]上是增函数,
∴f(x)≥0在[0,2]上恒成立,即f(0)≥0,解之得a≤5
综合可得:a≤1;
②当a≥4时,f(x)在区间[0,2]上是减函数,
∴f(x)≥0在[0,2]上恒成立,即f(2)≥0,解之得a≤
综合可得找不出实数a的取值;
③当1<a<4时,f(x)在区间[0,2]上先减后增,
∴f(x)≥0在[0,2]上恒成立,即f(log2a)≥0,解之得-3≤a≤3
综合可得:1<a≤3
综上所述,若f(x)≥0在[0,2]上恒成立,实数a的取值范围为(-∞,3].
已知函数f(x)=x2+(a+1)x+lg|a+2|(a∈R,且a≠-2).
(1)写出一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x),使f(x)=g(x)+h(x);
(2)对(1)中的g(x).命题P:函数f(x)在区间[(a+1)2,+∞)上是增函数;命题Q:函数g(x)是减函数;如果命题P、Q有且仅有一个是真命题,求a的取值范围;
(3)在(2)的条件下,求f(2)的取值范围.
正确答案
(1)由题意可得 h(x)=x2+lg|a+2|; g(x)=(a+1)x.
(2)由二次函数f(x))=x2+(a+1)x+lg|a+2|的图象是开口向上的抛物线,且的对称轴为 x=-,
在区间[(a+1)2,+∞)上是增函数,故有 -≤(a+1)2,解得a≤-
或a≥-1,因为a≠-2.
由函数g(x)是减函数得a+1<0,解得a<-1,a≠-2.
当命题P真且命题Q假时,由,解得a≥-1.
当命题P假且命题Q真时,由,即得-
<a<-1.
故当命题P、Q有且仅有一个是真命题,得a的取值范围是[-1,+∞)∪(-,-1)=(-
,+∞).
(3)f(2)=4+2a+2+lg|a+2|=6+2a+lg(a+2),因为在a∈(-,+∞)上递增,
所以,f(2)>6+2•(-)+lg(-
+2)=3-lg2,即:f(2)∈(3-lg2,+∞).
(选作题)定义在(-1,1)上的函数y=f(x)满足:对任意x,y∈(-1,1)都有f(x)+f(y)=f().
(1)判断函数f(x)的奇偶性,并证明;
(2)如果当x∈(-1,0)时,有f(x)>0,求证:f(x)在(-1,1)上是单调递减函数;
(3)在(2)的条件下解不等式:f(x+)+f(
)>0.
正确答案
(1)f(x)为奇函数.
令x=y=0,代入f(x)+f(y)=f()有,
2f(0)=f(0),f(0)=0;
令y=-x,代入f(x)+f(y)=f()得:
f(x)+f(-x)=f(0)=0,(xy≠-1,由定义域易知其满足)
∴f(x)=-f(-x),得证.
(2)设-1<x1<x2<1,
f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(),
由题设知,必有-1<<1
又x1-x2<0,由x1,x2∈(-1,1),可得-x1•x2∈(-1,1),所以1-x1•x2>0,
所以-1<<0,又x∈(-1,0)时f(x)>0,
∴f(x1)-f(x2)=f()>0
∴f(x1)>f(x2)
即f(x)在(-1,1)上是减函数;
(3)∵f(x+)+f(
)>0,f(x)为奇函数,
∴f(x+) >f(
),函数y=f(x)定义在(-1,1)上,f(x)在(-1,1)上是单调递减函数,
∴解得:-
<x<-1
∴不等式的解集为:{x|-<x<-1}.
已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数.
(1)求a的值;
(2)试判断f(x)的单调性,并用定义证明;
(3)若对任意的t∈[-2,2],不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取值范围.
正确答案
(1)f(-x)=-f(x)⇒f(0)=0
则=0⇒a=1
(2)f(x)为递增函数
任取x1,x2∈R,且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=-
=
∵x1<x2∴2x1-2x2<0,2x1+1>0,2x2+1>0
∴f(x1)<f(x2),所以f(x)为递增函数
(3)f(t2-2t)+f(2t2-k)<0对t∈[-2,2]恒成立
则f(t2-2t)<-f(2t2-k)对t∈[-2,2]恒成立
因为f(x)为奇函数,即f(-x)=-f(x)
则f(t2-2t)<f(-2t2+k)对t∈[-2,2]恒成立
又因为f(x)为递增函数
所以t2-2t<-2t2+k对t∈[-2,2]恒成立
即3t2-2t-k<0对t∈[-2,2]恒成立
令u=3t2-2t-k,t∈[-2,2],当x=-2时,umax=16-k
则16-k<0,则k>16
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