- 函数的周期性
- 共6029题
设一次函数f（x）=ax+b，其中a，b为实数，f1（x）=f（x），fn+1（x）=f（fn（x）），n=1，2，3，…，若f5（x）=32x+31，则f2008（-1）=______．
正确答案
因为f（x）=ax+b，fn+1（x）=f（fn（x）），所以f1（x）=f（x）=ax+b，f2（x）=f（f1（x））=f（ax+b）=a（ax+b）+b=a2x+ab+b，
f（f3（x））=f（f2（x））=a[a（ax+b）+b]+b=a3x+a2b+ab+b，
同理f4（x）=f（f3（x））=a4x+a3b+a2b+ab+b，
则f5（x）=f（f4（x））=a5x+a4b+a3b+a2b+ab+b=32x+31，
即a5=32①，a4b+a3b+a2b+ab+b=31②，解得a=2，b=1，
所以f（x）=2x+1，则f1（-1）=-1，f2（-1）=-1，…fn（-1）=-1．
所以f2008（-1）=-1．
故答案为：-1．
已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=-
（1）求x＜0时，f（x）的解析式；
（2）试确定函数y=f（x）（x≥0）单调区间，并证明你的结论．
正确答案
（1）若x＜0则-x＞0，∵f（x）是偶函数，
∴f(x)=f(-x)=
（2）设x1，x2是区间[0，+∞）上任意两个实数，且0≤x1＜x2，则f（x1）-f（x2）f(x1)-f(x2)=
当0≤x1＜x2≤1时，x1-x2＜0，x1x2-1＜0而x12+x1+1＞0及x22+x2+1＞0，
∴f（x1）-f（x2）＞0即f（x）在[0，1]上为减函数．
同理当1＜x1＜x2时，f（x1）-f（x2）＜0，即f（x）在（1，+∞）上为增函数
已知函数f(x)=log2
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）证明函数f（x）为奇函数；
（Ⅲ）判断并证明函数的单调性．
正确答案
（Ⅰ）由
可得-1＜x＜1．
即函数f（x）的定义域为（-1，1）． …（4分）
（Ⅱ）由f(-x)=log2
所以函数f（x）为奇函数． …（8分）
（Ⅲ）任取x1，x2∈（-1，1），且x1＜x2，则f(x1)-f(x2)=log2
=log2
=log2
由x1，x2∈（-1，1），且x1＜x2，
可知0＜1+x1-x2+x1x2＜1-x1+x2+x1x2，
所以
可得log2
即f（x1）＜f（x2），
所以函数f（x）在（-1，1）为增函数． …（12分）
设函数y=f（x）是奇函数．若f（-2）+f（-1）-3=f（1）+f（2）+3，则f（1）+f（2）=______．
正确答案
∵函数y=f（x）是奇函数
∴f（-2）=-f（2），f（-1）=-f（1）
∴f（-2）+f（-1）-3=f（1）+f（2）+3
可解得f（1）+f（2）=-3
故答案为：-3．
已知函数f(x)=
（Ⅰ）若f（x）＞0，求实数x的取值范围；
（Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由．
正确答案
（I）由f（x）＞0得：2x＜1，所以实数x的取值范围是（-∞，0）
（II）函数为奇函数，原因如下：
f(x)+f(-x)=
所以f（-x）=f（x）恒成立．
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