热门试卷

（1）∵f(x)=，在定义域上是奇函数且f（1）=3，

∴f（-1）=-3

∴

解得a=2，b=0

∴f(x)=

（2）函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，理由如下：

∵f′(x)==2-

∵x∈[1，+∞）时，＜1，f′（x）＞0

故函数f（x）在[1，+∞）上单调递增

（1）由函数f（x）是偶函数，可知f（x）=f（-x）．

∴log4（4x+1）+kx=log4（4-x+1）-kx．…（2分）

即log4=-2kx，log44x=-2kx，…（4分）

∴x=-2kx对一切x∈R恒成立．∴k=-．…（6分）

（利用f（-1）=f（1）解出k=-，可得满分）

（2）由m=f（x）=log4（4x+1）-x，

∴m=log4=log4（2x+）．…（8分）

设u=2x+，又设t=2x，则u=t+，由定理，知umin=u（1）=2，…（10分）

∴m≥log42=．故要使方程f（x）-m=0有解，m的取值范围为m≥．…（12分）

f(x)-＞0⇔f(x)min＞而f(x)min=，

∴＞即m＜1，

综上所述，≤m＜1…（14分）

（1）函数f（x）是偶函数

∴f（x）=f（-x），即：-2x2+（a+3）x+1-2a=-2x2-（a+3）x+1-2a

∴a=-3

则f（x）=-2x2+7

∴对称轴为x=0

∴最小值f（3）=-11

（2）∵a=-2

∴f（x）=-2x2+x+5

设x1＜x2 ，x1、x2∈(，+∞)

f（x1）-f（x2）=-2x12+x1+5+2x22-x2-5=（x2-x1）[2（x1+x2）-1]

∵x1＜x2 ，∴x2＞x1

∵x1、x2∈(，+∞)∴2（x1+x2）＞1∴2（x1+x2）-1＞0

∴f（x1）-f（x2）＞0 即f（x1）＞f（x2）

∴当a=-2时，f（x）在区间(，+∞)上为减函数．

（3）由题意得-2x2+（a+3）x+1-2a＞x（1-2x）+a在[-1，3]上恒成立．即（a+2）x+1-3a＞0在[-1，3]上恒成立．

设h（x）=（a+2）x+1-3a，

①若a＞-2，该函数是增函数，只需f（-1）＞0即可，

则f（-1）=-4a-1＞0，解得a＜-，所以-2＜a＜-；

②若a＜-2，该函数是减函数，只需f（3）＞0即可，

则f（3）=7＞0，，所以a＜-2满足；

③若a=-2，则该函数是y=7，它总在x轴上方，所以a=-2满足要求．

故a的取值范围是a＜-．

（I）由于定义在R上的函数f（x）= 是奇函数，故有f（0）=0，即 =0，解得 a=1．

（Ⅱ）由上可得 f（x）==-1，设x1＜x2，可得f（x1）-f（x2）=（ -1）-（-1）

=-=．

由题设可得2x2-2x1＞0，（1+2x2）（1+2x1）＞0，故f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），

故函数f（x）是R上的减函数．

（Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0恒成立，等价于f（t2-2t）＜-f（2t2-k）=f（-2t2+k） 恒成立，

等价于 t2-2t＞-2t2+k恒成立，等价于3t2-2t-k＞0恒成立，故有判别式△=4+12k＜0，

解得k＜-，故k的范围为（-∞，-）．