- 函数的周期性
- 共6029题
已知函数y=
（1）写出函数的定义域；
（2）判断函数的奇偶性；
（3）试证明函数在定义域内是增函数．
正确答案
（1）∵10x+1＞0恒成立
∴函数的定义域R
（2）∵f（-x）=
∴f（x）是奇函数
（3）设任意两个变量x1＜x2，则
f（x1）-f（x2）=
即f（x1）＜f（x2）
∴f（x）在定义域内是增函数．
函数f(x)=x+
（1）判断并证明函数的奇偶性；
（2）若a=2，证明函数在（2，+∞）单调增；
（3）对任意的x∈（1，2），f（x）＞3恒成立，求a的范围．
正确答案
（1）f（x）是奇函数，证明如下：
由题意可得，函数的定义域{x|x≠0}关于原点对称
∵f（-x）=-x-
∴f（x）是奇函数；
（2）证明；当a=2时，f（x）=x+
当x＞2时，f′(x)=1-
∴函数在（2，+∞）单调增；
（3）当a≤0时，f(x)=x+
∴1+a＜f(x)＜2+
∴1+a≥3
∴a≥2（舍）
当a＞0时，f(x)=x+
∴2
∴a＞
∴a的范围是(
已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c≥0在实数集上恒成立，且a＜b，则T=
正确答案
∵一元二次不等式ax2+bxx+c≥0对一切实数x都成立，
当a=0时，不符合题意；
当a≠0时，根据y=ax2+bxx+c的图象
∴
∵b＞a＞0∴b-a＞0
∵b2≤4ac得c≥
则T=
当且仅当3a=b-a且c=
故答案为3
已知函数f(x)=x2+
（1）若k=-1，求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（2）讨论函数f（x）的奇偶性，并加以证明．
正确答案
证明：（1）若k=-1，
则f(x)=x2-
则f′(x)=2x +
当x∈（0，+∞）时
f′（x）＞0恒成立
故f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（2）当k=0时，函数为偶函数，当k≠0时，函数为非奇非偶函数，
理由如下：
当k=0时，f（x）=x2，f（-x）=x2
∵f（x）=f（-x）
∴当k=0时，函数为偶函数
当k≠0时，f(x)=x2+
∵f（x）≠f（-x）且f（x）≠-f（-x）
∴当k≠0时，函数为非奇非偶函数
定义在R上的函数f（x）满足：f（m+n）=f（m）+f（n）-2对任意m、n∈R恒成立，当x＞0时，f（x）＞2．
（Ⅰ） 求证f（x）在R上是单调递增函数；
（Ⅱ）已知f（1）=5，解关于t的不等式f（|t2-t|）≤8；
（Ⅲ）若f（-2）=-4，且不等式f（t2+at-a）≥-7对任意t∈[-2，2]恒成立．求实数a的取值范围．
正确答案
证明：（Ⅰ）∀x1，x2∈R，当x1＜x2时，x2-x1＞0，
∴f（x2-x1）＞2f（x1）-f（x2）
=f（x1）-f（x2-x1+x1）
=f（x1）-f（x2-x1）-f（x1）+2
=2-f（x2-x1）＜0，
所以f（x1）＜f（x2），
所以f（x）在R上是单调递增函数…（4分）
（Ⅱ）∵f（1）=5，
∴f（2）=f（1）+f（1）-2=8，
由f（|t2-t|）≤8得f（|t2-t|）≤f（2）
∵f（x）在R上是单调递增函数，所以|t2-t|≤2⇒-2≤t2-t≤2⇔
（Ⅲ）由f（-2）=-4得-4=f（-2）=f（-1）+f（-1）-2⇒f（-1）=-1
所以f（-3）=f（-2）+f（-1）=-4-1-2=-7，
由f（t2+at-a）≥-7得f（t2+at-a）≥f（-3）
∵f（x）在R上是单调递增函数，
所以t2+at-a≥-3⇒t2+at-a+3≥0对任意t∈[-2，2]恒成立．
记g（t）=t2+at-a+3（-2≤t≤2）
只需gmin（t）≥0．对称轴t=-
（1）当-
此时a∈ϕ
（2）当-2＜-
又-4＜a＜4，所以-4＜a≤2
（3）当-
又a≤-4
∴-7≤a≤-4
综合上述得：a∈[-7，2]…（14分）
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