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简答题

设函数f(x)=ax3-2bx2+cx+4d,(a,b,c,d∈R)的图象关于原点对称,且x=1时,f(x)取极小值-

(Ⅰ)求a,b,c,d的值;

(Ⅱ)当x∈[-1,1]时,图象上是否存在两点,使两点处的切线互相垂直?试证明你的结论;

(Ⅲ)若x1,x2∈[-1,1],求证:|f(x1)-f(x2)|≤

正确答案

(I)因为图象关于原点对称,所以f(x)为奇函数,所以b=0,d=0

所以f(x)=ax3+cx,因此f'(x)=3ax2+c

由题意得

解得a=,c=-

(II)不存在.

证明:假设存在x1,x2,则f'(x1)•f'(x2)=-1

所以(x12-1)(x22-1)=-4

因为x1,x2∈[-1,1]所以x12-1,x22-1∈[-1,0]

因此(x12-1)(x22-1)≠-4

所以不存在.

(III)证明:f′(x)=x2-

由f′(x)=x2-=0得x=±1fmin(x)=f(1)=-,fmax(x)=f(-1)=

所以|f(x1)-f(x2)|≤fmax(x)-fmin(x)=f(-1)-f(1)=

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简答题

已知f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1与x=-时都取得极值.

(Ⅰ)求a,b的值;

(Ⅱ)若x∈[-1,2],都有f(x)-c2<0成立,求c的取值范围.

正确答案

(Ⅰ)由已知,f'(x)=3x2+2ax+b,∵在x=1与x=-时取极值,

解得a=-,b=-2,故a,b的值为:-,-2

(Ⅱ)(解法一)由(I)知f(x)=x3-x2-2x+c.由f(x)-c2<0得:x3-x2-2x<c2-c在[-1,2]上恒成立.

设g(x)=x3-x2-2x(x∈[-1,2]),g′(x)=3x2-x-2.…(8分)

由g′(x)=0得,x=-或x=1.,g(-1)=,g(-)=,g(1)=-,g(2)=2.…(10分)

∴[g(x)]max=2,∴2<c2-c解得,c<-1或c>2.,

∴c的取值范围为(-∞,-1)∪(2,+∞).

(解法二)由(I)知f(x)=x3-x2-2x+c.,∴f'(x)=3x2-x-2.…(8分)

①当x∈[-1,-)时,f′(x)>0;②当x∈[-,1)时,f′(x)<0;

③当x∈[1,2]时,f′(x)>0;∴当x=-时,f(x)有极大值+c.

而f(-1)=+c,f(2)=2+c,…(10分)

∴当x∈[1,2]时,f(x)的最大值为f(2)=2+c.

对x∈[1,2],f(x)<恒成立∴2+c<c2

故c的取值范围为(-∞,-1)∪(2,+∞).…(12分)

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简答题

设A(x1,y1)、B(x2,y2)是函数f(x)=-图象上任意两点,且x1+x2=1.

(Ⅰ)求y1+y2的值;

(Ⅱ)若Tn=f(0)+f()+f()+…+f()(其中n∈N*),求Tn

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,设an=(n∈N*),若不等式an+an+1+an+2+…+a2n-1>loga(1-2a)对任意的正整数n恒成立,求实数a的取值范围.

正确答案

(Ⅰ)∵A(x1,y1)、B(x2,y2)是函数f(x)=-图象上任意两点,且x1+x2=1.

y1+y2=-+-

=3-(+)=3-=3-=2.(4分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,当x1+x2=1时,y1+y2=2,

由Tn=f(0)+f()+f()+…+f()得,Tn=f()+…+f()+f()+f(0),

∴2Tn=[f(0)+f()]+[f()+f()]+…+[f()+f(0)]=2(n+1),

∴Tn=n+1.(8分)

(Ⅲ)由(Ⅱ)得,an==,不等式an+an+1+an+2+…+a2n-1>loga(1-2a)即为++…+>loga(1-2a),

设Hn=++…+

则 Hn+1=++…+++

∴Hn+1-Hn=+-=->0,

∴数列{Hn}是单调递增数列,

∴(Hnmin=T1=1,(10分)

要使不等式恒成立,只需loga(1-2a)<1,

即loga(1-2a)<logaa,

解得0<a<

故使不等式对于任意正整数n恒成立的a的取值范围是(0,).(12分)

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简答题

f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2.若对任意的x∈[t,t+2],不等式f(x+t)≥2f(x)恒成立,求t 的取值范围.

正确答案

f(x+t)≥2f(x)=f(x),

又∵函数在定义域R上是增函数

故问题等价于当x属于[t,t+2]时 

x+t≥x恒成立⇔(-1)x-t≤0恒成立,

令g(x)=(-1)x-t,

g(x)max=g(t+2)≤0

解得t≥

∴t 的取值范围t≥

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简答题

已知函数f(x)同时满足如下三个条件:①定义域为[-1,1];②f(x)是偶函数;③x∈[-1,0]时,f(x)=-,其中a∈R.

(Ⅰ)求f(x)在[0,1]上的解析式,并求出函数f(x)的最大值;

(Ⅱ)当a≠0,x∈[0,1]时,函数g(x)=(+x-2-)[e2x-f(x)],若g(x)的图象恒在直线y=e上方,求实数a的取值范围(其中e为自然对数的底数,e=2.71828…).

正确答案

(Ⅰ)任取x∈[0,1],则-x∈[-1,0],f(-x)=-=e2x-aex

又f(x)是偶函数,故x∈[0,1]时,f(x)=f(-x)=e2x-aex

由f(x)是定义域为[-1,1]的偶函数可知,f(x)在x∈[0,1]的最大值即可为f(x)的最大值.

当x∈[0,1]时,令t=ex∈[1,e],f(x)=h(t)=(t-)2-,即a≤e+1时,fmax(x)=h(e)=f(1)=e2-ae;,即a>e+1时,fmax(x)=h(1)=f(0)=1-a;

综上可知:

a≤e+1时,fmax(x)=f(1)=e2-ae;a>e+1时,fmax(x)=f(0)=1-a.

(Ⅱ)g(x)=(+x-2-)[e2x-f(x)]

=(+x-2-)(e2x-e2x+aex)=(+x-2-)•aex=(x2+ax-2a-3)ex

要x∈[0,1]时,函数g(x)的图象恒在直线y=e上方,

即x∈[0,1]时,gmin(x)>e成立,

g′(x)f'(x)=(x+a+3)(x-1)ex,令g′(x)=0,解得x1=-a-3,x2=1

①当-a-3≤0,即a≥-3且a≠0时,可得x∈[0,1]时g′(x)≤0,故g(x)在区间[0,1]单调递减.

此时gmin(x)=g(1)=(-2-a)e>e⇒a<-3,与a≥-3且a≠0矛盾.

②当0<-a-3<1,即-4<a<-3时,可得x∈[0,-a-3]时,g′(x)≥0,x∈[-a-3,1]时g′(x)≤0,可知f(x)在区间[0,-a-3]单调递增.在区间[-a-3,1]单调递减.

此时gmin(x)>e⇔g(0)>e,且g(1)>e,

又g(0)=-2a-3>e⇒a<,g(1)>e⇒a<-3

故-4<a<-3时可满足题意;

③-a-3≥1,即a≤-4时,可得x∈[0,1]时g′(x)≥0,可知g(x)在区间[0,1]单调递增.

此时gmin(x)=g(0)=-2a-3>e⇒a<,又a≤-4.故a≤-4时可满足题意.

综上可知:a<-3时,g(x)的图象恒在直线y=e上方.

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