函数的周期性
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函数的周期性
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题型：简答题

简答题

已知f（x）=x2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（0，5），

（Ⅰ）求f（x）的解析式；

（Ⅱ）若对于任意x∈[-1，1]，不等式f（x）+t≤2恒成立，求t的取值范围．

正确答案

（Ⅰ）∵不等式f（x）＜0的解集是（0，5），

∴0，5是对应方程x2+bx+c=0的两个根，

即-b=5，c=0，

∴b=-5，c=0，

即f（x）的解析式为f（x）=x2-5x；

（Ⅱ）不等式f（x）+t≤2恒成立等价为不等式x2-5x+t-2≤0恒成立，

设g（x）=x2-5x+t-2，对称轴为x=，

则由二次函数的图象可知在区间[-1，1]为减函数，

∴g（x）min=g（-1）=t+4，

∴t≤-4．

题型：简答题

简答题

已知命题p：1-a•2x≥0在x∈（-∞，0]恒成立，命题q：∀x∈R，ax2-x+a＞0．若命题p或q为真，命题p且q为假，求实数a的范围．

正确答案

命题p：1-a•2x≥0在x∈（-∞，0]上恒成立．

即：a≤()x在x∈（-∞，0]上恒成立．

∵（）x≥1，x∈（-∞，0]

∴a≤1，

即命题p：a≤1．

命题q：∀x∈R，ax2-x+a＞0．

显然当a≤0时，不合题意，

则：，

即a＞．

∴命题q：a＞，

∵p或q为真，p且q为假

∴p和q一真一假，

∴或，

即a≤或a＞1，

∴a的取值范围为：a≤或a＞1．

题型：简答题

简答题

设函数fn(x)=xn+bx+c(n∈N*，b，c∈R)．

（1）当n=2，b=1，c=-1时，求函数fn（x）在区间(，1)内的零点；

（2）设n≥2，b=1，c=-1，证明：fn（x）在区间(，1)内存在唯一的零点；

（3）设n=2，若对任意x1，x2∈[-1，1]，有|f2（x1）-f2（x2）|≤4，求b的取值范围．

正确答案

（1）f2(x)=x2+x-1，

令f2（x）=0，得x=，

所以f2（x）在区间（，1）内的零点是x=．

（2）证明：因为 fn()＜0，fn（1）＞0．

所以fn()•fn（1）＜0．

所以fn（x）在(，1)内存在零点．

任取x1，x2∈（，1），且x1＜x2，

则fn（x1）-fn（x2）=（x1n-x2n）+（x1-x2）＜0，

所以fn（x）在(，1)内单调递增，

所以fn（x）在(，1)内存在唯一零点．

（3）当n=2时，f2（x）=x2+bx+c．

对任意x1，x2∈[-1，1]都有|f2（x1）-f2（x2）|≤4，

等价于f2（x）在[-1，1]上的最大值与最小值之差M≤4．

据此分类讨论如下：

①当||＞1，即|b|＞2时，M=|f2（1）-f2（-1）|=2|b|＞4，与题设矛盾．

②当-1≤-＜0，即0＜b≤2时，M=f2（1）-f2（-）=（+1）2≤4恒成立．

③当0≤-≤1，即-2≤b≤0时，M=f2（-1）-f2（-）=（-1）2≤4恒成立．

综上可知，-2≤b≤2．

题型：简答题

简答题

设函数fn(x)=xn+bx+c(n∈N*，b，c∈R)．

（1）当n=2，b=1，c=-1时，求函数fn（x）在区间(，1)内的零点；

（2）设n≥2，b=1，c=-1，证明：fn（x）在区间(，1)内存在唯一的零点；

（3）设n=2，若对任意x1，x2∈[-1，1]，有|f2（x1）-f2（x2）|≤4，求b的取值范围．

正确答案

（1）f2(x)=x2+x-1，

令f2（x）=0，得x=，

所以f2（x）在区间（，1）内的零点是x=．

（2）证明：因为 fn()＜0，fn（1）＞0．

所以fn()•fn（1）＜0．

所以fn（x）在(，1)内存在零点．

任取x1，x2∈（，1），且x1＜x2，

则fn（x1）-fn（x2）=（x1n-x2n）+（x1-x2）＜0，

所以fn（x）在(，1)内单调递增，

所以fn（x）在(，1)内存在唯一零点．

（3）当n=2时，f2（x）=x2+bx+c．

对任意x1，x2∈[-1，1]都有|f2（x1）-f2（x2）|≤4，

等价于f2（x）在[-1，1]上的最大值与最小值之差M≤4．

据此分类讨论如下：

①当||＞1，即|b|＞2时，M=|f2（1）-f2（-1）|=2|b|＞4，与题设矛盾．

②当-1≤-＜0，即0＜b≤2时，M=f2（1）-f2（-）=（+1）2≤4恒成立．

③当0≤-≤1，即-2≤b≤0时，M=f2（-1）-f2（-）=（-1）2≤4恒成立．

综上可知，-2≤b≤2．

题型：简答题

简答题

设a为实数，函数f（x）=x2+|x-a|+1，x∈R

（1）讨论f（x）的奇偶性；

（2）求f（x）的最小值．

正确答案

（1）当a=0时，函数f（-x）=（-x）2+|-x|+1=f（x）

此时，f（x）为偶函数

当a≠0时，f（a）=a2+1，f（-a）=a2+2|a|+1，f（a）≠f（-a），f（a）≠-f（-a）

此时f（x）既不是奇函数，也不是偶函数

（2）①当x≤a时，f(x)=x2-x+a+1=(x-)2+a+

当a≤，则函数f（x）在（-∞，a]上单调递减，从而函数f（x）在（-∞，a]上的最小值为f（a）=a2+1．

若a＞，则函数f（x）在（-∞，a]上的最小值为f()=+a，且f()≤f(a)．

②当x≥a时，函数f(x)=x2+x-a+1=(x+)2-a+

若a≤-，则函数f（x）在（-∞，a]上的最小值为f(-)=-a，且f(-)≤f(a)

若a＞-，则函数f（x）在[a，+∞）上单调递增，从而函数f（x）在[a，+∞）上的最小值为f（a）=a2+1．

综上，当a≤-时，函数f（x）的最小值为-a

当-＜a≤时，函数f（x）的最小值为a2+1

当a＞时，函数f（x）的最小值为+a．

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