热门试卷

（1）a=0时f（x）=x3-3|x|+λ•sin（π•x）

f（-1）=-4，f（1）=-2，

所以f（-1）≠f（1），f（-1）≠-f（1），

所以f（x）时非奇非偶函数

（2）x＞0时，f（x）=x3-3x+λsin（πx），所以f'（x）=3x2-3+λπcos（πx）

所以在x=1处的切线方程为y+2=-λπ（x-1）

因为过原点，所以λ=

（3）当a≤0时，x∈[0，2]上f（x）=x3-3x+3a，f'（x）=3x2-3，

所以f（x）在[0，1]内单调递减，[1，2]递增，所以ymin=f（1）=3a-2

当a≥2时，x∈[0，2]上f（x）=x3+3x-3a，f'（x）=3x2+3＞0，

所以f（x）单调递增，ymin=f（0）=-3a

当0＜a＜2时，f(x)=，

当0≤x≤a时，f'（x）=3x2+3＞0，所以f（x）单调递增，ymin=f（0）=-3a

当a≤x≤2时，因f'（x）=3x2-3，所以f（x）在[0，1]上单调递减，在[1，2]上递增，所以若0＜a≤1，

则ymin=f（1）=3a-2，当1＜a＜2时ymin=f（a）=a3

而0＜a≤1时 3a-2-（-3a）=6a-2，

所以，x∈[0，2]时ymin=

同样1＜a＜2，因a3＞-3a，所以ymin=f（0）=-3a

综上：a≤时，ymin=f（1）=3a-2a＞时，ymin=f（0）=-3a

（1）∵f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数．

∴f（-x）=f（x）

即log4（4-x+1）-kx=log4（4x+1）+kx

即log4（4x+1）-（k+1）x=log4（4x+1）+kx

即2k+1=0

∴k=-

证明：（2）由（1）得f（x）=log4（4x+1）-x

令y=log4（4x+1）-x

由于y=log4（4x+1）-x为减函数，且恒为正

故当b＞0时，y=log4（4x+1）-x-b有唯一的零点，此时函数y=f（x）的图象与直线 y=x+b有一个交点，

当b≤0时，y=log4（4x+1）-x-b没有零点，此时函数y=f（x）的图象与直线 y=x+b没有交点

（1）∵f（x）=x2-a|x-2|+a

∴当x≥2时，f（x）=x2-ax+3a=x2+a（3-x）①，可知，当x=3时，a的值对函数无影响，所以函数过定点（3，9）

当x＜2时，f（x）=x2+ax-a=x2+a（x-1）②，所以，又过定点（1，1）

（2）由（1）可知，当x=或x=-时有函数的最小值，当为①时，x=，y=0，解得：a=0或a=

而当a=0时x=0＜2，当a=时x∈∅

当为②时，x=-，y=0，解得：a=0或a=-4

综上：a=0或-4

∵f′（x）=-3x2+6x，∴g（x）=6lnx-f′（x）=6lnx+3x2-6x

∴g′（x）=+6x-6

依题意有g′（x1）=g′（x2）且x1≠x2，

即+6x1-6=+6x2-6

∴x1x2=1

∴==

=3（x1+x2）--6

令x1+x2=t，则t＞2，∵φ（t）=3t--6在（2，+∞）上单调递增

∴φ（t）＞φ（2）=-3

∴＞-3

∴m≤-3

∴实数m的最大值为-3．