热门试卷

（I）∵f'（x）=3x2+4x+1=（3x+1）（x+1）

令f'（x）＞0得x＞-或x＜-1

故函数在（-∞，-1）与（-，+∞）是增函数，在（-1，-）是减函数，故函数在x=-1处取到极大值，在x=-处取到极小值

极大值为0，极小值-

（II）若对于任意x∈（0，+∞），f（x）≥ax2恒成立，则必有a≤=x++2对于任意x∈（0，+∞），恒成立，

∵x++2≥4，等号当且仅当x==1时成立

∴a≤4

∴实数a的取值范围（-∞，4]

（1 ）函数f（x）是定义在R上的奇函数有f(0)=a+=0

∴a=-

（2）f′(x)=＞0∴f（x）是实数集R上的单调递增函数

又函数f（x）的图象不间断，在区间（1，2）恰有一个零点，有f（1）f（2）＜0

即(a+)(a+)＜0解之得-＜a＜-．

（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞）

求导函数可得f′(x)=-=

由f′（x）＞0，可得x＞；由f′（x）＜0，可得0＜x＜

∴函数f（x）的单调增区间为(，+∞)，单调减区间为(0，)

当x=时，函数取得极大值为f()=-alna+a；

（Ⅱ）已知对任意的x＞0，ax（2-lnx）≤1恒成立，则

①2-lnx＞0时，a≤恒成立

令g(x)=，

∴g′(x)=

当lnx＜1时，g′（x）＜0，当1＜lnx＜2时，g′（x）＞0，

∴lnx=1时，即x=e时，函数取得最小值为g(e)=

∴a≤

②2-lnx＜0时，a≥恒成立

令g(x)=，

∴g′(x)=

当2-lnx＜0时，g′（x）＞0，

∴函数在（e2，+∞）上单调增，函数无最大值，故此时a≥不恒成立；

∴实数a的取值范围是(-∞，]；

（Ⅲ）不存在a，使得函数f（x）在[1，e]上最小值为0

由（Ⅰ）知函数f（x）的单调增区间为(，+∞)，单调减区间为(0，)

若1≤≤e，即≤a≤1，则函数f（x）在[1，e]上最小值为f()=-alna+a=0，

∴a=e，不满足题意

若0＜＜1，即a＞1，则函数f（x）在[1，e]上最小值为f（1）=1，不满足题意

综上知，不存在a，使得函数f（x）在[1，e]上最小值为0．

（Ⅰ）当a=3时，f(x)=-x3+x2+3x+b，所以f/（x）=-x2+2x+3，

由f'（x）＞0，解得-1＜x＜3，由f'（x）＜0，解得x＜-1或x＞3，

所以函数f（x）的单调增区间为（-1，3），减区间为（-∞，-1）和（3，+∞）．

（Ⅱ）因为f'（x）=-x2+2x+a，

由题意得：f'（x）=-x2+2x+a＜2a2对任意x∈R恒成立，

即-x2+2x＜2a2-a对任意x∈R恒成立，

设g（x）=-x2+2x，所以g（x）=-x2+2x=-（x-1）2+1，

所以当x=1时，g（x）有最大值为1，

因为对任意x∈R，-x2+2x＜2a2-a恒成立，

所以2a2-a＞1，解得a＞1或a＜-，

所以，实数a的取值范围为{a|a＞1或a＜-}．