- 函数的周期性
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试问函数f（x）=x+sinx是否为周期函数？请证明你的结论．
正确答案
函数f（x）=x+sinx不是周期函数；
用反证法证明如下：
假设函数f（x）的周期函数，且其一个周期为T，（T≠0），则有f（x+T）=f（x）成立，
即x+T+sin（x+T）=x+sinx，
则T+sin（x+T）=sinx，对一切实数x均成立，
取x=0有T+sinT=0，①
取x=π有T-sinT=0，②
联立①、②，可得T=0，
此与T≠0相矛盾，所以假设不成立；
于是可知，函数f（x）=x+sinx不是周期函数．
已知f（x）=|x-1|+|x+2|．
（1）解不等式f（x）≥5；
（2）若关于x的不等式f（x）＞a2-2a对于任意的x∈R恒成立，求a的取值范围．
正确答案
（1）不等式即|x-1|+|x+2|≥5，由于|x-1|+|x+2|表示数轴上的x对应点到-2和1对应点的距离之和，
而-3和2对应点到-2和1对应点的距离之和正好等于5，故不等式的解集为（-∞，-3]∪[2，+∞）．
（2）若关于x的不等式f（x）＞a2-2a对于任意的x∈R恒成立，故f（x）的最小值大于a2-2a．
而由绝对值的意义可得f（x）的最小值为3，
∴3＞a2-2a，解得-1＜a＜3，
故所求的a的取值范围为（-1，3）．
已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R都满足：f（ab）=af（b）+bf（a）．
（1）求f（0）及f（1）的值；
（2）判断的奇偶性，并证明你的结论；
（3）若f(2)=2，un=
正确答案
已知函数f（x）=lnx-x，h(x)=
（1）求h（x）的最大值；
（2）若关于x的不等式xf（x）≥-2x2+ax-12对一切x∈（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若关于x的方程f（x）-x3+2ex2-bx=0恰有一解，其中e是自然对数的底数，求实数b的值．
正确答案
已知关于x的函数f（x）=x2+2ax+b（其中a，b∈R）
（Ⅰ）求函数|f（x）|的单调区间；
（Ⅱ）令t=a2-b．若存在实数m，使得|f(m)|≤
正确答案
（Ⅰ）∵f（x）=x2+2ax+b=（x+a）2-（a2-b）
∴①当a2-b≤0时，单调区间为：（-∞，-a]上为减，[-a，+∞）上为增；（2分）
②当a2-b＞0时，单调区间为：(-∞，-a-
(-a-
（Ⅱ）因为：若存在实数m，使得|f(m)|≤
①当-
此时|x2-x1|=2
②当
此时|x2-x1|=2
③当a2-b≥
此时由于|x2-x1|=2
所以只要|x3-x4|=2
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