热门试卷

令x1=-1•，x2=x，得f （-x）=f （-1）+f （x） …①

为了求f （-1）的值，令x1=1，x2=-1，

则f（-1）=f（1）+f（-1），即f（1）=0，

再令x1=x2=-1得：f（1）=f（-1）+f（-1）=2f（-1）=0，

∴f（-1）=0代入①式得：

f（-x）=f（x），可得f（x）是一个偶函数．

（1）∵f（-1）=0，

∴a-b+c=0，b=a+c，

∵△=b2-4ac=（a+c）2-4ac=（a-c）2，

当a=c时△=0，函数f（x）有一个零点；

当a≠c时，△＞0，函数f（x）有两个零点．

（2）[f（x1）+f（x2）]-f（）=（ax12+bx1+c+ax22+bx2+c）-[a()2+b•+c]

=a[+-()2]=a(x1-x2)2，

因为a＞0，x1＜x2，f（x1）≠f（x2），

所以a(x1-x2)2＞0，故[f（x1）+f（x2）]＞f（）；

（3）假设a，b，c存在，由①知抛物线的对称轴为x=-1，且f（x）min=0，

∴-=-1，=0⇒b=2a，b2=4ac⇒4a2=4ac⇒a=c，

由②知对∀x∈R，都有0≤f（x）-x≤（x-1）2，

令x=1得0≤f（1）-1≤0⇒f（1）-1=0⇒f（1）=1⇒a+b+c=1，

由解得a=c=，b=，

当a=c=，b=时，f（x）=x2+x+=（x+1）2，其顶点为（-1，0）满足条件①，

又f（x）-x=（x-1）2，所以对∀x∈R，都有0≤f（x）-x≤（x-1）2，满足条件②．

∴存在a，b，c∈R，使f（x）同时满足条件①、②．

（1）设ax-1=t则x=，

由于f(ax-1)=lg(a≠0)，

∴f(t)=lg=lg，

从而f(x)=lg（4分）

（2）a＞0时，＞0⇒x∈（-∞，-2a-1）∪（3a-1，+∞），

即函数的定义域为（-∞，-2a-1）∪（3a-1，+∞），

a＜0时，＞0⇒x∈（-∞，3a-1）∪（-2a-1，+∞）． 

即定义域为（-∞，3a-1）∪（-2a-1，+∞）．    （8分）

（3）当定义域关于原点对称时a=2，此时f(x)=lg（10分）

∵f(-x)=lg=-f(x)，∴f（x）为奇函数，（13分）

当a≠0且a≠2时，f（x）的定义域不关于原点对称，

故f（x）为非奇非偶函数．                             （15分）

（1）当a=-1时，f（x）=-（x-2）2+5

由于函数f（x）的最大值大于3，要使存在一个最大的正数t，在区间[0，t]上，|f（x）|≤3恒成立，所以t只能是-x2+4x+1=3的较小的根2-

（2）由a＜0，f(x)=a(x+

2

a

)2+1-

当 1-＞3，即-2＜a＜0时，要使|f（x）|≤3，在区间[0，t]上恒成立，要使得正数t最大，正数t只能是ax2+4x+1=3的较小的根，即t=；

当 1-≤3，即a≤-2时，要使|f（x）|≤3，在区间[0，t]上恒成立，要使得正数t最大，正数t只能是ax2+4x+1=-3的较大的根，即t=；

所以g(a)=

（2）当-2＜a＜0时，t==＜；

当a≤-2时，t==≤=+1；

所以g（a）的最大值为+1．