热门试卷

（1）∵a=1，x∈[1，2]

∴f(x)=x2-|x|+1=x2-x+1，

∴f（x）min=1≤1，

∴函数f（x）在[1，2]上具有“DK”性质．…（4分）

（2）当x∈[1，2]时，f（x）=ax2-x+2a-1…（5分）

①若a=0，则f（x）=-x-1在区间[1，2]上是减函数，f（x）min=f（2）=-3≤1

满足函数f（x）具有“DK”性质，∴a=0…（6分）

②若a≠0，则f(x)=a(x-

1

2a

)2+2a--1，函数的对称轴为直线x=

当a＜0时，f（x）在区间[1，2]上是减函数，f（x）min=f（2）=6a-3≤1

满足函数f（x）具有“DK”性质，∴a＜0…（7分）

当0＜＜1，即a＞时，f（x）在区间[1，2]上是增函数f（x）min=f（1）=3a-2，

若函数f（x）具有“DK”性质，则3a-2≤1

∴＜a≤1…（8分）

当1≤≤2，即≤a≤时，f(x)min=f()=2a--1

若函数f（x）具有“DK”性质，则2a--1≤1得≤a≤

∴≤a≤…（9分）

当＞2，即0＜a＜时，f（x）在区间[1，2]上是减函数，f（x）min=f（2）=6a-3≤1，满足函数f（x）具有“DK”性质，∴0＜a＜…（10分）

综上所述，若f（x）在[1，2]上具有“DK”性质，则a的取值范围为（-∞，1]．…（12分）

（本题满分18分）

（文科）（1）由已知得 f（x）=loga（x+1）；                          （4分）

（2）∵a＞1，∴f（x）在（-1，+∞）上为单调递增函数，（6分）∴在区间[m，n]（m＞-1），g(m)=loga(m+1)=loga，g(n)=loga(n+1)=loga；

即m+1=，n+1=，n＞m＞-1．∴m，n是方程x+1=

即方程x2+x-p=0，x∈（-1，0）∪（0，+∞）的两个相异的解，（8分）

这等价于，（10分）    解得-＜p＜0为所求．（12分）

另可转化为函数y=x2+x，x∈（-1，0）∪（0，+∞）图象与函数y=p的图象有两个交点问题，数形结合求得：-＜p＜0．

（3）F(x)=af(x)-g(x)=aloga(x+1)-loga(x2-3x+3)=，(x＞-1)（14分）∵(x+1)+-5≥2-5，当且仅当x=-1时等号成立，∴=∈(0，]，（16分）∴F(x)max=F(-1)=，∵w≥F（x）恒成立，∴w≥F（x）max，所以w≥为所求．（18分）

（1）假设f（x）是奇函数，由于定义域为R，

∴f（-x）=-f（x），

即+=-(+)，

整理得(a+)（ex+e-x）=0，

即a+=0，即a2+1=0，显然无解．

∴f（x）不可能是奇函数．

（2）因为f（x）是偶函数，所以f（-x）=f（x），

即+=+，

整理得(a+)（ex-e-x）=0，

又∵对任意x∈R都成立

∴有a-=0，得a=±1．

当a=1时，f（x）=e-x+ex，以下讨论其单调性，

任取x1，x2∈R且x1＜x2，

则f（x1）-f（x2）=e-x1+ex1-e-x2-ex2=（ex1-ex2）（1-）＞0，

其中ex1、ex2＞0，ex1-ex2＜0，

当ex1•ex2=ex1+x2＞0时，即x1+x2＞0时，f（x1）＜f（x2），f（x）为增函数，

此时需要x1+x2＞0，即增区间为[0，+∞），反之（-∞，0]为减区间．

当a=-1时，同理可得f（x）在（-∞，0]上是增函数，在[0，+∞]上是减函数．

（1）依题意得：f'（x）=-x2+2ax-2a∵f（x）在[1，2]上单调递减

∴f'（x）=-x2+2ax-2a≤0在[1，2]恒成立

即：当x=1时，a∈R当x≠1时，2a≤在（1，2]恒成立

记g(x)==x-1++2则gmin（x）=4

∴只须a≤2

综上，a≤2

（2）当a=2时，方程f（x）=x2-7x-m有3个不同根等价于-x2-3x+2-m=0有3个不同根

记g(x)=-x2-3x+2-m则g'（x）=x2-2x-3

令g'（x）＞0得x＜-1或x＞3令g'（x）＜0得-1＜x＜3

∴g（x）在（-∞，-1），（3，+∞）递增，在（-1，3）递减

∴g极小（x）=g（3）=-7-mg极大(x)=g(-1)=-m

要使-x2-3x+2-m=0有3个不同根

只须

得-7＜m＜