热门试卷

（1）由于f(-)=log2=-1，∴=，即=1+，解得a=1，

∴f(x)=log2．

再由 ＞0，求得-1＜x＜1

，∴定义域为（-1，1），定义域关于原点对称．

再根据f(-x)=log2=log2()-1=-log2=-f（x）

∴f（x）为奇函数．-----（3分）

（2）f（x）=log2(-1-)，∴f(3x)=log2(-1-)．

∵-1≤x＜0，∴-≤3x-1＜0，∴≤-3，即-≥3，

∴-1-≥2，∴log2(-1-)≥log22=1，

∴值域为[1，+∞）．-----（7分）

（3）∵log2≤log2=2log2=log2()2，∴≤()2．

∵≤x≤，∴x+1＞0．-------（9分）

令 h（x）=1-x2，显然h（x）在[，]上是减函数，∴h(x)max=h()=，

∴只需k2≤．又由g（x）定义域知k＞0，∴0＜k≤，即k的范围为 （0，）．-----（13分）

（1）如图，x=8

则：y2=x2+

y=（x＞0）

（2）证明：∵f（-x）=（-x）2+1=x2+1=f（x），∴函数f（x）=x2+1是偶函数，

作取x1，x2∈[0，+∞），令x1＜x2

f（x1）-f（x2）=x12-x22=（x1-x2）（x1+x2）

∵x1，x2∈[0，+∞），令x1＜x2

∴x1-x20

∴f（x1）-f（x2）=x12-x22=（x1-x2）（x1+x2）＜0

故函数在[0，+∞）上是增函数．

综上，函数f（x）=x2+1是偶函数，且在[0，+∞）上是增函数．

（1）原不等式可化为：x3-ax≥2x(x2-lnx-)-x2+5x-3，化简得：ax≤2xlnx+x2+3，

∵x＞0，故上式可化为a≤2lnx++x恒成立，则问题等价于a≤(2lnx++x)min．

记t(x)=2lnx++x，(x＞0)，t′(x)=，

令t′（x）=0，得x=1，

∵x＞0，∴在（0，1）上，t′（x）＜0，在（1，+∞）上，t′（x）＞0，

∴t（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．

故当x=1时，t（x）有最小值为4，故a≤4，

∴实数a的取值范围是a∈（-∞，4]；

（2）化简得，G（x）=lnx，则原不等式可化为lnx＞-，即证xlnx＞-成立，

记F（x）=xlnx，则F'（x）=lnx+1，

当0＜x＜时，F'（x）＜0，F（x）递减；当x＞时，F'（x）＞0，F（x）递增，

故当x=时，F（x）取得极小值，也为最小值，其最小值为F()=-．

记H(x)=-，则H'（x）=，

当0＜x＜1时，H'（x）＞0，H（x）递增；当x＞1时，H'（x）＜0，H（x）递减；

故当x=1时，H（x）取得极大值，也为最大值，其最大值为H(1)=-，

由函数F（x）的最小值与函数H（x）的最大值不能同时取到，

故x∈（0，+∞）时，F（x）＞H（x），故原不等式成立．

（1）令logax=t，则x=at，

∴f(t)=(at-)

∴f(x)=(ax-)，x∈R-----------------------------------------------（4分）

因为f(-x)=(a-x-)=-f(x)

∴f（x）为奇函数-------------------（6分）

（2）因为∀x1，x2∈R当x1＜x2时都有f（x1）＜f（x2）成立，

所以f（x）在R上单调递增------------------------------（8分）

由f（1-m）+f（m2-1）＜0得f（m2-1）＜-f（1-m），

又f（x）为奇函数，

∴-f（1-m）=f（m-1），即f（m2-1）＜f（m-1），

------------------------------（10分）

由f（x）在R上单调递增得m2-1＜m-1，

即m2＜m解得0＜m＜1

故实数m的取值范围为（0，1）------------------------------（12分）