热门试卷

（1）an+6=an+5-an-4=an+4-an+3-an-4=-an+3=-an+2+an+1=-（an+1-an）+an+1=an，

得T=6

所以，数列{an}是以6为周期的周期数列，

周期为任意正整数--（2分）

又由 ，

得a1=2，a2=1005，a3=1003，a4=-2，a5=-1005，a6=-1003S6=0，

且数列{an}是以6为周期的周期数列，

所以，S6n=0，

所以 S2009=S5=a3=1003--（3分）

（2）当p=0时，a1=a2=0，an+1=-2an2+2an=0，

即{an}是周期数列--（5分）

当p≠0，p∈(0，)时，

an+1=-2+2an═-2(an-)2+∈(0，)

由已知a1=p∈[0， )，

且an+1=-2an2+2an，

可得a2∈[0，)，

依此类推可得a_∈[0，)（n∈N*）

所以 an+1-an=-2an2+an=an（1-2an）＞0，所以an+1＞an

即数列{an}是递增数列，非周期数列；--（8分）

（3）由（1）知，S2=a1+a2=a1+1005=1007，

所以a1=2，a2=1005，a3=1003，a4=-2，a5=-1005，a6=-1003，

且数列{an}是周期为6的周期数列，

所以（an）max=1005（n∈N*），（an）min=-1005，

且 a6n+1=2，a6n+2=1003，a6n+3=1005，a6n+4=-2，

a6n+5=-1005，a6n+6=-1003，--（9分）

而当n≥12时，∈(0，)，

bn=an+2n+≥2n-1005+＞2009，

即2n≥2009+1005=30142n+≥1004，

得n≥1507，即 n≥1507时，

都有bn＞2009；--（12分）

又b1506=a1506+2×1506+=2009+＞2009b1505=a1505+2×1505+=2007+＜2009--（13分）

综上，存在最小的自然数n=1506，

对一切自然数m，当m≥n=1506，

都有bm＞2009．--（14分）

（1）∵数列{an}倒均数是Vn=

∴=

∴++…+=

当n≥2时，++…+=

两式相减可得=

∴an=（n≥2）

∵n=1时，=，∴a1=也满足上式

∴an=；

（2）∵等比数列{bn}的公比q=2，∴{}是公比为的等比数列，

∴等比数列{bn}的倒均数为Vn=

不等式nVn＜，即＜

若b1＜0，则不等式为2[1-()n]＞，∴n＞4，因此此时存在正整数m，使得当n≥m（n∈N*）时，nVn＜恒成立，且m的最小值为4；

若b1＞0，则不等式为2[1-(

1

2

)n]＜，∴n＜4，因此此时不存在正整数m，使得当n≥m（n∈N*）时，nVn＜恒成立．

（1）f（x）=sin（2x+θ）+2×-

=sin（2x+θ）+cos（2x+θ）

=2sin（2x+θ+）；

（2）要使f （x）为偶函数，则必有f（-x）=f（x），

∴2sin（-2x+θ+）=2sin（2x+θ+），即-sin[2x-（θ+）]=sin（2x+θ+），

整理得：-sin2xcos（θ+）+cos2xsin（θ+）=sin2xcos（θ+）+cos2xsin（θ+）

即2sin2xcos（θ+）=0对x∈R恒成立，

∴cos（θ+）=0，又0≤θ≤π，

则θ=；

（3）当θ=时，f（x）=2sin（2x+）=2cos2x=1，

∴cos2x=，

∵x∈[-π，π]，

∴x=±，

则x的集合为{x|x=±}．

（1）∵f（x）=（x+5）（x+2），g（x）=x+1，

∴y==，

设x+1=t，∵x＞-1，∴t＞0

原式化为y===t++5≥2+5=9

当且仅当t=，即t=2时取等号，

∴当x=1时y取最小值9． …（6分）

（2）f（x）＞ag（x），即x2+（7-a）x+10-a＞0，

设h（x）=x2+（7-a）x+10-a，

则不等式f（x）＞ag（x）在x∈[-2，2]上恒成立等价于h（x）在x∈[-2，2]上恒大于0．

等价于或或

解得0＜a＜9，

故a的取值范围为（0，9）．…（12分）