热门试卷

（Ⅰ）若a=，则f(x)=lnx-，f′(x)=-．

当x∈（0，e-1）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；

当x∈（e-1，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．…（2分）

又因为f（1）=0，f（e）=0，所以

当x∈（0，1）时，f（x）＜0；当x∈（1，e-1）时，f（x）＞0；

当x∈（e-1，e）时，f（x）＞0；当x∈（e，+∞）时，f（x）＜0．…（4分）

故y=|f（x）|的极小值点为1和e，极大值点为e-1．…（6分）

（Ⅱ）不等式f(x)≤-+，

整理为lnx+-+a≤0．…（*）

设g(x)=lnx+-+a，

则g′(x)=+-（x＞0）==．…（8分）

①当a≤0时，2ax-e＜0，又x＞0，所以，

当x∈（0，e）时，g'（x）＞0，g（x）递增；

当x∈（e，+∞）时，g'（x）＜0，g（x）递减．

从而g（x）max=g（e）=0．

故，g（x）≤0恒成立．…（11分）

②当a＞0时，g′(x)==(x-e)(-)．

令-=，解得x1=，则当x＞x1时，-＞；

再令(x-e)=1，解得x2=+e，则当x＞x2时，(x-e)＞1．

取x0=max（x1，x2），则当x＞x0时，g'（x）＞1．

所以，当x∈（x0，+∞）时，g（x）-g（x0）＞x-x0，即g（x）＞x-x0+g（x0）．

这与“g（x）≤0恒成立”矛盾．

综上所述，a≤0．…（14分）

（1）令x=y=0得，f（0）=f（0）f（0），

∵f（x）≠0，∴f（0）=1．

（2）∵f（0）=1，f（1）=2，且f（x）为单调函数，

∴f（x）是增函数，

∵•=λsinθ+cos2θ，f（•）-f（3）≤0

∴f（λsinθ+cos2θ）≤f（3）

又∵f（x）是增函数，

∴对任意θ∈[0，2π），λsinθ+cos2θ≤3恒成立，

即sin2θ-λsinθ+2≥0恒成立，…（*）

令t=sinθ，得t2-λt+2≥0

∵θ∈[0，2π），∴-1≤sinθ≤1，即-1≤t≤1，

令h（t）=t2-λt+2=(t-

λ

2

)2+2-（-1≤t≤1），

①当＜-1时，即λ＜-2时，只要h（-1）≥0，则（*）恒成立，

∵h（-1）=λ+3≥0，∴-3＜λ＜-2；

②当-1≤≤1时，即-2≤λ≤2时，只要h（）≥0，则（*）恒成立，

∵h（）=2-≥0，∴-2≤λ≤2，

∴-2≤λ≤2；

③当＞1时，即λ＞2时，只要h（1）≥0，则（*）恒成立，

∵h（1）=3-λ≥0，∴∴2＜λ≤3；

综上：存在-3≤λ≤3，满足题目要求．

证明：定义域关于原点对称，

令x=y=0，代入f（xy）=f（x）+f（y）得 f（0）=0，

令y=-x得：f（0）=f（x）+f（-x）=0，

∴f（-x）=-f（x），

∴f（x）是奇函数．

（1）由＞0得函数f（x）的定义域为{x|-1＜x＜1}，

又f(x)+f(-x)=log2+log2=0

所以函数f（x）为奇函数

（2）证明：f(x1)+f(x2)=log2+log2=log2(•)=log2f()=log2=log2；

∴f(x1)+f(x2)=f()；

（3）由（2）的结论知f(a)+f(b)=f()=1

又由（1）知f(b)=-f(-b)=-；

∴f(a)=1-f(b)=1+=．