热门试卷

（1）赋值得f（1）=f（-1）=0，…（2分）

∵f（-x）=f（-1）+f（x）=f（x）

∴函数为偶函数              …（4分）

（2）f（-4）=4得f（2）=2，f（2n）=f（2n-1）+f（2）

∴f（2n）=2n…（8分）

∴an=2•（-1）nn，

∴S2009=-2010…（10分）

（3）设 0＜x＜1，则＞1，0=f(1)=f(x)+f()，得f（x）＞0（0＜x＜1）…（14分）

（理）f()≤f()+f(a)得f()≤0⇔≥1|a|≤恒成立，

又≥，从而0＜|a|≤…（18分）

（4）（文）f（x-3）≥0⇔0＜|x-3|≤1⇔2≤x＜3或3＜x≤4…（18分）

（1）∵f（x）=ax3+bx2+x为奇函数，

∴f（-x）=-f（x）对任意x∈R恒成立

即：-ax3+bx2-x=-ax3-bx2-x⇒2bx2=0任意x∈R恒成立

∴b=0，可得f（x）=ax3+x

∵f（1）-f（-1）=4

∴a+1-（-a-1）=4⇒a=1

综上所述，得a=1，b=0

（2）由（1）得f（x）=x3+x，

求导数得f′（x）=3x2+1＞0对任意x∈R恒成立

∴f（x）是R上的增函数．当x∈[0，2]时，f（x）的最大值为f（2）=10

∵对于任意的x∈[0，2]，都有f（x）＜c2-9c恒成立

∴10＜c2-9c⇒c2-9c-10＞0⇒c＜-1或c＞10

综上所述，得实数c的取值范围为c∈（-∞，-1）∪（10，+∞）．

（1）设A（m，n）为函数f（x）=x3+3x2图象的一个对称点，则f（m-x）+f（m+x）=2n，对于x∈R恒成立．即（m-x）3+3（m-x）2+（m+x）3+3（m+x）2=2n对于x∈R恒成立，

∴（6m+6）x2+（2m3+6m2-2n）=0由解得：

故函数f（x）图象的一个对称点为（-1，2）．

（2）①因为函数是奇函数，则由f（-x）=-f（x）得：-ax3+（b-2）x2=-ax3-（b-2）x2，解得a∈R，b=2；

②当a∈R，b=2时f（x）是奇函数．不存在常数a使f（x）≥-x2+4x-2x∈[-1，1]时恒成立．

依题，此时f（x）=ax3令g（x）=-x2+4x-2x∈[-1，1]∴g（x）∈[-7，1]若a=0，f（x）=0，不合题；

若a＞0，f（x）=ax3此时为单调增函数，f（x）min=-a．

若存在a合题，则-a≥1，与a＞0矛盾．

若a＜0，f（x）=ax3此时为单调减函数，

f（x）min=a若存在a合题，则a≥1，与a＜0矛盾．

综上可知，符合条件的a不存在．

（3）函数的图象关于直线x=m对称的充要条件是f（m+x）=f（m-x）

①a=b=0时，f（x）=0（x∈R），其图象关于x轴上任意一点成中心对称；关于平行于y轴的任意一条直线成轴对称图形；

②a=0，b≠0时，f（x）=bx2（x∈R），其图象关于y轴对称图形；

③a≠0，b=0时，f（x）=ax3，其图象关于原点中心对称；

④a≠0，b≠0时，f（x）=ax3+bx2的图象不可能是轴对称图形．

设A（m，n）为函数f（x）=ax3+bx2图象的一个对称点，则f（m-x）+f（m+x）=2n对于x∈R恒成立．即a（m-x）3+b（m-x）2+a（m+x）3+b（m+x）2=2n对于x∈R恒成立，（3am+b）x2+（am3+bm2-n）=0

由，由解得

故函数f（x）图象的一个对称点为（-，）．