热门试卷

（I）证明：①当x∈[0，1）时，（1+x）e-2x≥1-x⇔（1+x）e-x≥（1-x）ex，

令h（x）=（1+x）e-x-（1-x）ex，则h′（x）=x（ex-e-x）．

当x∈[0，1）时，h′（x）≥0，

∴h（x）在[0，1）上是增函数，

∴h（x）≥h（0）=0，即f（x）≥1-x．

②当x∈[0，1）时，f(x)≤⇔ex≥1+x，令u（x）=ex-1-x，则u′（x）=ex-1．

当x∈[0，1）时，u′（x）≥0，

∴u（x）在[0，1）单调递增，∴u（x）≥u（0）=0，

∴f（x）≤．

综上可知：1-x≤f(x)≤．

（II）设G（x）=f（x）-g（x）=(1+x)e-2x-(ax+x3+1+2xcosx)

≥1-x-ax-1-x3-2xcosx=-x(a+1++2cosx)．

令H（x）=+2cosx，则H′（x）=x-2sinx，

令K（x）=x-2sinx，则K′（x）=1-2cosx．

当x∈[0，1）时，K′（x）＜0，

可得H′（x）是[0，1）上的减函数，∴H′（x）≤H′（0）=0，故H（x）在[0，1）单调递减，

∴H（x）≤H（0）=2．∴a+1+H（x）≤a+3．

∴当a≤-3时，f（x）≥g（x）在[0，1）上恒成立．

下面证明当a＞-3时，f（x）≥g（x）在[0，1）上不恒成立．

f（x）-g（x）≤-(1+ax+x3+2xcosx)=-ax--2xcosx=-x(+a++2cosx)．

令v（x）=+a++2cosx=+a+H(x)，则v′（x）=+H′(x)．

当x∈[0，1）时，v′（x）≤0，故v（x）在[0，1）上是减函数，

∴v（x）∈（a+1+2cos1，a+3]．

当a＞-3时，a+3＞0．

∴存在x0∈（0，1），使得v（x0）＞0，此时，f（x0）＜g（x0）．

即f（x）≥g（x）在[0，1）不恒成立．

综上实数a的取值范围是（-∞，-3]．

（I）∵f′(x)=logae，g′(x)=logae（3分）

∵函数f（x）和g（x）的图象在X=2处的切线互相平行，

∴f'（2）=g'（2）（5分）

∴logae=logae，

∴t=6（6分）

（II）∴F（x）=g（x）-f（x）=2loga（2x+4）-logax=loga，x∈[1，4]

令 h(x)==4x++16，x∈[1，4]∵h′(x)=4-=，x∈[1，4]

∴当1≤x＜2时，h′（x）＜0，

当2＜x≤4时，h′（x）＞0．h（x）在[1，2）是单调减函数，在（2，4]是单调增函数．（9分）

∴h（x）min=h（2）=32，∴h（x）max=h（1）=h（4）=36

∴当0＜a＜1时，有F（x）min=loga36，当a＞1时，有F（x）min=loga32．

∵当x∈[1，4]时，F（x）≥2恒成立，∴F（x）min≥2（10分）

∴满足条件的a的值满足下列不等式组 ；①，或 ②

不等式组①的解集为空集，解不等式组②得 1＜a≤4

综上所述，满足条件的 a的取值范围是：1＜a≤4．（12分）

令u=sin2x+4sin2xcos2x，

则u=sin2x+sin22x=（1-cos2x）+（1-cos22x）=-cos22x-cos2x+=-（cos2x+）2+，

得umax=．由y≥u知ymin=．

所以y的最小值为．

（1）f（x）=lnx得f′（x）=，

函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线的斜率为f′（1）=1，切线方程为：y-0=x-1即y=x-1．

由已知得它与g（x）的图象相切，将y=x-1代入得x-1=x2-bx，即x2-（b+1）x+1=0，

∴△=（b+1）2-2=0，解得b=±-1，

即实数b的值为±-1．

（2）h（x）=f（x）+g（x）=lnx+x2-bx，

∴h′（x）=+x-b，

根据函数h（x）在定义域（0，+∞）上存在单调减区间，

∴存在x＞0，使得+x-b＜0，即b＞+x，

由于当x＞0时，+x≥2，

∴b＞2．

∴实数b 的取值范围（2，+∞）．

（3）对于区间[1，2]上的任意实数x，f′（x）=∈[，1]．

g′（x）=x-b∈[1-b，2-b]，

要使得对于区间[1，2]上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有|f（x1）-f（x2）|＞|g（x1）-g（x2）|成立，

若用注意到f（x）是增函数，不妨设x1＞x2，则f（x1）＞f（x2），问题转化为|f（x1）-f（x2）|＞|g（x1）-g（x2）|

等价于-f（x1）+f（x2）＜g（x1）-g（x2）＜f（x1）-f（x2）从而f（x1）-g（x1）＞f（x2）-g（x2）且f（x1）+g（x1）＞f（x2）+g（x2），

即f（x）-g（x）与f（x）+g（x）都是增函数，

利用导数的几何是切线的斜率，得到|f′（x）|＞|g′（x）|，

即＞|b-x|，于是x-≤b≤x+即（x-）max≤b≤（x+）min∴≤b≤2．

则b的取值范围[，2]．