- 函数的周期性
- 共6029题
设f（x）是定义在R上的偶函数，在区间（-∞，0）上单调递增，且满足f（-a2+2a-5）＜f（2a2+a+1），求实数a的取值范围．
正确答案
∵f（x）是定义在R上的偶函数，在区间（-∞，0）上单调递增，
∴f（x）在区间（0，+∞）上单调递减
∵a2-2a+5=（a-1）2+4＞0，2a2+a+1=2（a+
而f（-a2+2a-5）=f（a2-2a+5），f（-a2+2a-5）＜f（2a2+a+1），
∴a2-2a+5＞2a2+a+1
∴a2+3a-4＜0
∴-4＜a＜1
即实数a的取值范围是（-4，1）．
已知定义在实数集上的函数y=f（x）满足条件：对任意的x，y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求f（0）的值，
（2）求证：f（x）是奇函数，
（3）举出一个符合条件的函数y=f（x）．
正确答案
（1）∵对任意的x，y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y）．
∴令x=0、y=0，有f（0+0）=f（0）+f（0）…（1分）
∴f（0）=0…（2分）
（2）∵对任意的x，y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y）
令y=-x，有f（x-x）=f（x）+f（-x）…（4分）
∴f（0）=f（x）+f（-x）
∴f（-x）=-f（x），x∈R…（5分）
∴函数f（x）是奇函数．…（6分）
（3）符合条件的函数f（x）=2x（答案不止一个只要符合要求都算正确）…（8分）
已知函数f（x）=
①f（x）是奇函数；
②y=xf（x）为奇函数；
③（x+1）f（x）＜3的解为-2＜x＜2；
④xf（x+1）＜0的解为-1＜x＜1．
其中正确的是 ______．（填序号）
正确答案
①由题意知f（0）=0且函数的定义域是R，当x＞0时，f（-x）=-1=-f（x），
当x＜0时，f（-x）=-1=-f（x），故①对；
②当x＞0时，f（-x）=（-1）（-x）=x=f（x），则不是奇函数，故②不对；
③当x=0时，f（0）=0＜3，成立；当x＞0时，不等式为x+1＜3解得0＜x＜2；
当x＜0时，不等式为-x-1＜3，解得-4＜x＜0；
综上，不等式得解集是（-4，2），故③不对；
④当x=-1时，f（-1+1）=0＜3，成立；当x＞-1时，不等式为x＜0解得-1＜x＜0；
当x＜-1时，不等式为-x＜0，解得无解；
综上，不等式得解集是[-1，0），故③不对；
故答案为①．
（文）已知函数f(x)=2x-
（1）若f（x）=2，求x的值；
（2）若2tf（2t）+mf（t）≥0对于t∈[2，3]恒成立，求实数m的取值范围．
正确答案
（1）当x＜0时，f（x）=0；当x≥0时，f(x)=2x-
由条件可知 2x-
解得 2x=1±
（2）当t∈[2，3]时，2t( 22t-
即 m（22t-1）≥-（24t-1）．∵22t-1＞0，∴m≥-（22t+1）．…（13分）∵t∈[2，3]，∴-（1+22t）∈[-65，-17]，
故m的取值范围是[-17，+∞）．…（16分）
已知函数f（x）=k•a-x（k，a为常数，a＞0且a≠1）的图象过点A（0，1），B（3，8）．
（1）求实数k，a的值；
（2）若函数g(x)=
正确答案
（1）∵函数f（x）=k•a-x（k，a为常数，a＞0且a≠1）的图象过点A（0，1），B（3，8）．
∴k=1，且k•a-3=8
解得k=1，a=
（2）函数g（x）为奇函数，理由如下：
由（1）得f（x）=
∴函数g(x)=
则g（-x）=
∴函数g（x）为奇函数
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