热门试卷

奇函数，增函数

证明：定义在R上，定义域关于原点对称  1分

令   2分

令

即

为奇函数.   3分  

在R上任取

即

在R上为增函数.  

（1）证明见解析（2）在［0，2 009］上共有502个x使f(x)="-"

（1）证明 ∵f（x+2）=-f（x），

∴f（x+4）=-f（x+2）=-［-f（x）］=f（x），                           2分

∴f（x）是以4为周期的周期函数，                           4分

（2）解 当0≤x≤1时，f(x)=x,

设-1≤x≤0,则0≤-x≤1,∴f（-x）=（-x）=-x.

∵f(x)是奇函数，∴f（-x）=-f（x）,

∴-f（x）=-x，即f(x)=x.                                  7分

故f(x)= x(-1≤x≤1)                                           8分

又设1＜x＜3,则-1＜x-2＜1,

∴f(x-2)= (x-2),                                          10分

又∵f（x-2）=-f（2-x）=-f（（-x）+2）=-［-f（-x）］=-f（x），

∴-f（x）=（x-2），

∴f（x）=-（x-2）（1＜x＜3）.                          11分

∴f（x）=                         12分

由f(x)="-" ,解得x=-1.

∵f（x）是以4为周期的周期函数.

∴f(x)="-" 的所有x="4n-1" (n∈Z).                               14分

令0≤4n-1≤2 009,则≤n≤,

又∵n∈Z，∴1≤n≤502 （n∈Z）,

∴在［0，2 009］上共有502个x使f(x)="-" .                           16分