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题型:填空题
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填空题

若定义在上的函数是偶函数,则实数    

正确答案

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题型:简答题
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简答题

已知a>0且a≠1,

(1)判断函数f(x)是否有零点,若有求出零点;

(2)判断函数f(x)的奇偶性;

(3)讨论f(x)的单调性并用单调性定义证明。

正确答案

解:(1)x=0

(2),f(-x)=…=-f(x)奇函数

(3)设

=

时,由,在R上递增

时,由,在R上递减

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题型:填空题
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填空题

如果函数是偶函数,则的值是             .

正确答案

0

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题型:简答题
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简答题

设函数上满足, 且在闭区间[0, 7]上只有.

⑴试判断函数的奇偶性;

⑵试求方程在闭区间上的根的个数, 并证明你的结论.

正确答案

(1)为非奇非偶函数(2)方程上共有802个根

⑴由

∵在上只有 

  ∴

为非奇非偶函数。                         

⑵由 得

是以10为周期的函数. 又

在[0, 10]和上各有2个根.

从而方程在上有800个根, 而上没有根,

在[2000, 2005]上有2个根.

故方程上共有802个根.    

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题型:填空题
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填空题

已知函数f(x)=aln(x+1)-x2,若在区间(0,1)内任取两个不同实数m,n,不等式<1恒成立,则实数a的取值范围是______.

正确答案

由于=,则表示点(m+1,f(m+1)) 与点(n+1,f(n+1))连线的斜率,因实数p,q在区间(0,1)内,故m+1和n+1在区间(1,2)内.

∵不等式=,恒成立,

∴函数图象上在区间(1,2)内任意两点连线的斜率小于1,

故函数的导数小1在(1,2)内恒成立.

由函数的定义域知,x>-1,

∴f′(x)=-2x<1 在(1,2)内恒成立.

即 a<2x2+3x+1在(1,2)内恒成立.

由于二次函数y=2x2+3x+1在[1,2]上是单调增函数,

故 x=1时,y=2x2+3x+1 在[1,2]上取最小值为6,

∴a≤6,

故答案为:a≤6.

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