- 函数的周期性
- 共6029题
若定义在上的函数
是偶函数,则实数
正确答案
略
已知a>0且a≠1,。
(1)判断函数f(x)是否有零点,若有求出零点;
(2)判断函数f(x)的奇偶性;
(3)讨论f(x)的单调性并用单调性定义证明。
正确答案
解:(1)x=0
(2),f(-x)=…=-f(x)奇函数
(3)设,
=
当时,由
得
,
,
,在R上递增
当时,由
得
,
,
,在R上递减
略
如果函数是偶函数,则
的值是 .
正确答案
0
略
设函数在
上满足
,
且在闭区间[0, 7]上只有
.
⑴试判断函数的奇偶性;
⑵试求方程在闭区间
上的根的个数, 并证明你的结论.
正确答案
(1)为非奇非偶函数(2)方程
在
上共有802个根
⑴由
∵在上只有
∴ ∴
故为非奇非偶函数。
⑵由 得
∴是以10为周期的函数. 又
∴
∴在[0, 10]和
上各有2个根.
从而方程在上有800个根, 而
上没有根,
在[2000, 2005]上有2个根.
故方程在
上共有802个根.
已知函数f(x)=aln(x+1)-x2,若在区间(0,1)内任取两个不同实数m,n,不等式<1恒成立,则实数a的取值范围是______.
正确答案
由于=
,则表示点(m+1,f(m+1)) 与点(n+1,f(n+1))连线的斜率,因实数p,q在区间(0,1)内,故m+1和n+1在区间(1,2)内.
∵不等式=
,恒成立,
∴函数图象上在区间(1,2)内任意两点连线的斜率小于1,
故函数的导数小1在(1,2)内恒成立.
由函数的定义域知,x>-1,
∴f′(x)=-2x<1 在(1,2)内恒成立.
即 a<2x2+3x+1在(1,2)内恒成立.
由于二次函数y=2x2+3x+1在[1,2]上是单调增函数,
故 x=1时,y=2x2+3x+1 在[1,2]上取最小值为6,
∴a≤6,
故答案为:a≤6.
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