函数的周期性
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题型：填空题

填空题

若函数为奇函数，则实数a = ．

正确答案

因为函数为奇函数，f(0)=0,可知，a=1.

题型：填空题

填空题

函数f(x)是定义在R上的奇函数，当时，；则当时，f(x)的解析式为_______________.

正确答案

略

题型：简答题

简答题

已知，若能表示成一个奇函数和一个偶函数的和.

（Ⅰ）求和的解析式；

（Ⅱ）若和在区间上都是减函数，求的取值范围．

正确答案

（Ⅰ），

（Ⅱ）

解：（I）由题，；(写出答案就给满分)--------4分

（II）因为和在区间上都是减函数，

所以，即

且，即

从而 ------------- ---9分

又，可看成是关于变量的函数，并在区间上单调递减，所以的取值范围为-----------------------14分

题型：简答题

简答题

设是定义在上的奇函数，且对任意，当时，都有.（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）解不等式．

正确答案

(Ⅰ) (Ⅱ)

：（Ⅰ）因为是定义在上的奇函数，所以，.4分

（Ⅱ）由得的定义域为，设，且，

，因为为奇函数，所以，即，

又因为，即，所以，

所以，所以，函数在上是单调减函数. 8分

由得解得，

所以原不等式的解集为. 12分

题型：填空题

填空题

已知直线y=x与函数g(x)=(x＞0)和图象交于点Q，P、M分别是直线y=x与函数g(x)=(x＞0)的图象上异于点Q的两点，若对于任意点M，PM≥PQ恒成立，则点P横坐标的取值范围是______．

正确答案

∵直线y=x与函数g(x)=(x＞0)和图象交于点Q，∴点Q（，）．

由于 P、M分别是直线y=x与函数g(x)=(x＞0)的图象上异于点Q的两点，

设M（a，），且 a＞0，a≠，设P（b，b），则由PM≥PQ恒成立，

可得（b-a）2+(b-

)2≥(b-

)2+(b-

)2 恒成立，化简可得（2a+-4）b≤a2+-4．

由于a＞0，a≠时，故（2a+-4）＞0，且 a2+-4＞0，由不等式可得

b≤==•=•(

a2 -2

=•(a+

)2=++．

即 b≤++．

由a＞0，a≠，利用基本不等式可得++＞2，故 b≤2．

再由题意可得，b≠，故点P横坐标b的取值范围是 (-∞，)∪（，2]．

故答案为 (-∞，)∪（，2]．

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