- 函数的周期性
- 共6029题
在已给出的坐标系中，绘出同时符合下列条件的一个函数f(x)的图象．
(1)f(x)的定义域为[-2，2]；
(2)f(x)是奇函数；
(3)f(x)在(0，2]上递减；
(4)f(x)是既有最大值，也有最小值；
(5)f(1)=0。
正确答案
∵f(x)是奇函数，
∴f(x)的图象关于原点对称，
∵f(x)的定义域为[-2，2]，
∴f(0)=0，
由f(x)在(0，2]上递减，知f(x)在[-2，0)上递减，
由f(1)=0，知f(-1)=-f(1)=0，
符合一个条件的一个函数的图象如下图，
已知函数f(x)=
（1）求函数f（x）的值域；
（2）①判断函数f（x）的奇偶性；②用定义判断函数f（x）的单调性；
（3）解不等式f（1-m）+f（1-m2）＜0．
正确答案
（1）∵2x=
又2x＞0，∴-1＜y＜1
∴函数f（x）的值域为（-1，1）（4分）
（2）证明：①∵f(-x)=
∴函数f（x）为奇函数（7分）
②f(x)=
在定义域中任取两个实数x1，x2，且x1＜x2，（8分）
则f(x1)-f(x2)=
∵x1＜x2，∴0＜2x1＜2x2，
从而f（x1）-f（x2）＜0（11分）
∴函数f（x）在R上为单调增函数（12分）
（3）由（2）得函数f（x）为奇函数，在R上为单调增函数
∴f（1-m）+f（1-m2）＜0即f（1-m）＜-f（1-m2），
∴f（1-m）＜f（m2-1），1-m＜m2-1（14分）
∴原不等式的解集为（-∞，-2）∪（1，+∞）（16分）
已知函数f(x)=
（1）判定函数的奇偶性；
（2）求f（x）的值域．
正确答案
（1）∵ex+e-x＞0恒成立，∴f（x）的定义域为R
∵f（-x）=
∴f（x）为奇函数；
（2）∵f(x)=
∵f（t）=
所以f（t）∈（-1，1），
即f（x）的值域为（-1，1）
已知函数f（x）=loga（x+1），g（x）=loga（1-x）（其中a＞0且a≠1）．
（Ⅰ）求函数f（x）-g（x）的定义域；
（Ⅱ）判断f（x）-g（x）的奇偶性，并说明理由．
正确答案
（Ⅰ）若要f（x）-g（x）有意义，则
所以所求定义域为{x|-1＜x＜1}（5分）
（Ⅱ）f（x）-g（x）为奇函数．证明如下：
设F(x)=f(x)-g(x)=loga
由（1）知F（x）的定义域关于原点对称
且F(-x)=loga
所以f（x）-g（x）是奇函数 （12分）
已知函数f（x）=1+a•(
（I）当a=1时，求函数f（x）在（-∞，0）上的值域；
（II）若对任意x∈[0，+∞），总有|f（x）|≤3成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若m＞0（m为常数），且对任意x∈[0，1]，总有|g（x）|≤M成立，求M的取值范围．
正确答案
（I）当a=1时，f（x）=1+(
1
2
)x+(
1
4
)x；
因为f（x）在（-∞，0）上递减，所以f（x）＞f（0）=3，即f（x）在（-∞，0）的值域为（3，+∞）
（II）由题意知，对任意x∈[0，+∞），总有-3≤f（x）≤3成立．
∴-4-(
∴-4•2x-(
1
2
)x≤a≤2•2x-(
1
2
)x在[0，+∞）上恒成立，
∴[-4•2x-(
1
2
)x]max≤a≤[2•2x-(
1
2
)x]min
设2x=t，则t≥1，设h（t）=-4t-
∴h′(t)=-4+
∴h（t）在[1，+∞）上递减，p（t）在[1，+∞）上递增
∴在[1，+∞）上，h（t）max=h（1）=-5，p（t）min=p（1）=1
∴实数a的取值范围为[-5，1]；
（Ⅲ）g（x）=
∵m＞0，x∈[0，1]
∴g（x）在[0，1]上递减
∴g（1）≤g（x）≤g（0），即
①当|
②当|
综上所述，m∈（0，
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