- 函数的周期性
- 共6029题
已知函数
（Ⅰ）求实数a、b的值；
（Ⅱ）试证明函数f（x）在区间(0，2]单调递减，在区间（2，+∞）单调递增；
（Ⅲ）是否存在实数k同时满足以下两个条件：①不等式f（x）+
正确答案
解：（Ⅰ）由
由
得
即
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
任取
∴
∴
所以，函数f（x）在区间(0，2]单调递减；类似地，可证f（x）在区间（2，+∞）单调递增。
（Ⅲ）对于条件①：由（Ⅱ）可知函数f（x）在x∈（0，+∞）上有最小值
故若
则需
∴
对于条件②：由（Ⅱ）可知函数f（x）在（-∞，-2）单调递增，在[-2，0)单调递减，
∴函数f（x）在[-6，-2]单调递增，在[-2，-1]单调递减，
又
所以函数f（x）在[-6，-1]上的值域为
若方程f（x）=k在[-6，-1]有解，则需
若同时满足条件①②，则需
答：当
已知f(x)是偶函数，且在(-∞，0]上单调递减，对任意x∈R，x≠0，都有f(x)+f(
(1)指出f(x)在[0，+∞)上的单调性(不要求证明)，并求f(1)的值；
(2)k为常数，-1＜k＜1，解关于x的不等式
正确答案
解：(1)f(x)在[0，+∞）上是增函数．
∵
∴
∴
(2)因为f(x)是偶数，所以
故
∵f(x)在[0，+∞）上是增函数，
∴
∴
①若k=0，则x2＜0，∴不等式解集为
②若-1＜k＜0，则
③若0＜k＜1，则
已函数f（x）=
（1）求f（x）的表达式；
（2）设F（x）=
正确答案
（1）∵函数f（x）=
∴
解得：a=1，b=0．
∴f（x）的表达式：f（x）=
（2）F（x）=
∴F（a）=
∴F（a）+F（
∴F（1）+F（2）+F（3）+F（4）+F（
=
已知函数f（x）=x2-2|x|．
（Ⅰ）判断并证明函数的奇偶性；
（Ⅱ）判断函数f（x）在（-1，0）上的单调性并加以证明．
正确答案
（Ⅰ）是偶函数．
证明：函数的定义域是R，
∵f（-x）=（-x）2-2|-x|=x2-2|x|=f（x）
∴函数f（x）是偶函数．
（Ⅱ）是单调递增函数．
证明：当x∈（-1，0）时，f（x）=x2+2x
设-1＜x1＜x2＜0，则x1-x2＜0，且x1+x2＞-2，即x1+x2+2＞0
∵f(x1)-f(x2)=(
∴f（x1）＜f（x2）
所以函数f（x）在（-1，0）上是单调递增函数．
已知函数f（x）=2x+a•2-x是定义域为R的奇函数，
（1）求实数a的值；
（2）证明：f（x）是R上的单调函数；
（3）若对于任意的t∈R，不等式f（t2-2t）+f（t2-k）＞0恒成立，求k的取值范围．
正确答案
（1）∵f（x）=2x+a•2-x是定义域为R的奇函数，
∴f（0）=1+a=0，∴a=-1，
经检验当a=-1时，f（x）是奇函数，故所求a=-1；
（2）由（1）可知f（x）=2x-2-x，
∀x1，x2∈R，且x1＜x2，
f(x2)-f(x1)=(2x2-2-x2)-(2x1-2-x1)=(2x2-2x1)(1+
∵x1＜x2，∴0＜2x1＜2x2，即2x2-2x1＞0
∴f（x2）-f（x1）＞0即f（x2）＞f（x1），
∴f（x）是R上的递增函数，即f（x）是R上的单调函数．
（3）∵根据题设及（2）知f（t2-2t）+f（t2-k）＞0，
等价于f（t2-2t）＞-f（t2-k）=f（k-t2），即t2-2t＞k-t2，∴2t2-2t-k＞0，
∴原不等式恒成立即是2t2-2t-k＞0在t∈R上恒成立，∴△=4+8k＜0，
∴所求k的取值范围是k＜-
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