- 函数的周期性
- 共6029题
已知函数f(x)=
（1）求m的值；
（2）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并给予证明；
（3）求函数f（x）在区间[-5，-1]上的最值．
正确答案
（1）由f(4)=-
即：4m=4，解得：m=1；…（2分）
（2）函数f（x）在（0，+∞）上为减函数．…（3分）
证明：设0＜x1＜x2，
则f(x2)-f(x1)=(
∵0＜x1＜x2∴(x1-x2)(1+
即f（x2）-f（x1）＜0，
∴f（x2）＜f（x1），
∴f（x）在（0，+∞）上为减函数．…（7分）
（3）由（1）知：函数f(x)=
∴f(-x)=
由（2）知：f（x）在[1，5]上为减函数，则函数f（x）在区间[-5，-1]上为减函数．…（10分）
∴当x=-5时，f（x）取得最大值，最大值为f(-5)=-
当x=-1时，f（x）取得最小值，最小值为f（-1）=-2+1=-1．…（12分）
（其他解法请参照给分）
已知f（x）是定义在R上的奇函数，且x＞0时，
（1）求f（1），f（-1）；
（2）求函数f（x）的表达式；
（3）若f（a-1）-f（3-a）＜0，求a的取值范围。
正确答案
解：（1）
（2）令x＜0，则-x＞0，
又因为f（x）在R上为奇函数，
所以f（0）=0，
∴
（3）设
所以
而
所以
所以
且当x＞0时，f（x）＜f（0）=0，
∴
又∵f（x）在R上为奇函数，图象关于原点对称，
∴f（x）在R上为减函数。
由于
∴a＞2。
己知函数
(Ⅰ)证明函数f（x）是R上的增函数；
(Ⅱ)求函数f（x）的值域．
(Ⅲ)令
正确答案
答案：“略”
已知函数f（x）的定义域为D：（-∞，0）∪（0，+∞），且满足对于任意x，y∈D，有f（xy）=f（x）+f（y），
（Ⅰ）求f（1），f（-1）的值；
（Ⅱ）判断f（x）的奇偶性并说明理由；
（Ⅲ）如果f（4）=1，f（3x+1）+f（2x-6）≤3，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，求x的取值范围。
正确答案
解：（Ⅰ）因为f（xy）=f（x）+f（y），
令x=y=1，
得f（1）=f（1）+f（1），所以f（1）=0；
再令x=y=-1，
得f（1）=f（-1）+f（-1），所以f（-1）=0；
（Ⅱ）因为f（xy）=f（x）+f（y），
令y=-1，得f（-x）=f（x）+f（-1）=f（x），
又函数f（x）的定义域为D：（-∞，0）∪（0，+∞），
所以函数f（x）为偶函数。
（Ⅲ）因为f（4）=1，
所以
所以
由
因为f（x）在D上是偶函数，且在（0，+∞）上是增函数，故在（-∞，0）上是减函数，
当
不等式①
解得：
当
所以不等式①
在不等式
因为
所以
解得：
所以x的取值范围是
函数f（x）的定义域D={x|x≠0}，且满足对任意x1，x2∈D，有：f（x1·x2）=f（x1）+f（x2），
（1）求f（1），f（-1）的值；
（2）判断f（x）的奇偶性并证明；
（3）如果f（4）=1，f（3x+1）+ f（2x-6）≤3，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，求x的取值范围。
正确答案
解：（1）令
有
解得：f（1）=0；
令
解得：f（-1）=0；
（2）f（x）为偶函数，
证明如下：令
∴f（-x）=f（x），
即f（x）为偶函数。
（3）f（4）=1，
∴
由
∵f（x）为偶函数，
又f（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴
解得：
∴x的取值范围为
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