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题型:简答题
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简答题 · 12 分

椭圆的离心率为轴被曲线 截得的线段长等于的长半轴长。

(1)求的方程;

(2)设轴的交点为M,过坐标原点O的直线相交于点A,B,直线MA,MB分别与相交与D,E.

(i)证明:

(ii)记△MAB,△MDE的面积分别是.问:是否存在直线,使得=?

请说明理由。

正确答案

见解析

解析

(1)由题意知,从而,又,解得

的方程分别为

(2)(1)由题意知,直线的斜率存在,设为,则直线的方程为.

,则是上述方程的两个实根,于是

又点的坐标为,所以

,即

(2)设直线的斜率为,则直线的方程为,由解得,则点的坐标为

又直线的斜率为 ,同理可得点B的坐标为.

于是

解得,则点的坐标为

又直线的斜率为,同理可得点的坐标

于是

因此

由题意知,解得 或

又由点的坐标可知,,所以

故满足条件的直线存在,且有两条,其方程分别为

知识点

并集及其运算
1
题型:填空题
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填空题 · 5 分

若不等式对任意实数恒成立,则实数的取值范围是____________.

正确答案

[﹣1,]

解析

|2x﹣1|+|x+2|=

∴x=时,|2x﹣1|+|x+2|的最小值为

∵不等式|2x﹣1|+|x+2|≥a2+a+2对任意实数x恒成立,

∴a2+a+2≤

∴a2+a﹣≤0,

∴﹣1≤a≤

∴实数a的取值范围是[﹣1,]。

知识点

并集及其运算
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

已知函数的导函数为偶函数,且曲线在点处的切线的斜率为.

(1)确定的值;

(2)若,判断的单调性;

(3)若有极值,求的取值范围.

正确答案

(1)a=b=1

(2)f(x)在定义域R为均增函数

(3)c的取值范围为(4,+∞)

解析

(1)∵函数f(x)=ae2x﹣be﹣2x﹣cx(a,b,c∈R)

∴f′(x)=2ae2x+2be﹣2x﹣c,

由f′(x)为偶函数,

知f′(﹣x)=f′(x),

即2(a﹣b)(e2x+e﹣2x)=0,

即a=b,

又∵曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线的斜率为4﹣c,

即f′(0)=2a+2b﹣c=4﹣c,

故a=b=1;

(2)当c=3时,f′(x)=2e2x+2e﹣2x﹣3≥2=1>0恒成立,

故f(x)在定义域R为均增函数;

(3)由(1)得f′(x)=2e2x+2e﹣2x﹣c,

而2e2x+2e﹣2x≥2=4,当且仅当x=0时取等号,

当c≤4时,f′(x)≥0恒成立,故f(x)无极值;

当c>4时,令t=e2x,方程2t+﹣c=0的两根均为正,

即f′(x)=0有两个根x1,x2

当x∈(x1,x2)时,f′(x)<0,当x∈(﹣∞x1)∪(x2,+∞)时,f′(x)>0,

故当x=x1,或x=x2时,f(x)有极值,

综上,若f(x)有极值,c的取值范围为(4,+∞)。

知识点

并集及其运算
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(    )

A54

B60

C66

D72

正确答案

C

解析

由三视图知:几何体是直三棱柱消去一个同底的三棱锥,如图:

三棱柱的高为5,消去的三棱锥的高为3,

三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为3和4的等腰直角三角形,

∵AB⊥平面BEFC,∴AB⊥BC,BC=5,FC=2,AD=BE=5,DF=5

∴几何体的表面积S=×3×4+×3×5+×4+×5+3×5=60。

故选:B。

知识点

并集及其运算
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

,则一定有

A

B

C

D

正确答案

D

解析

,又,由不等式性质知:,所以

知识点

并集及其运算
下一知识点 : 交集及其运算
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