- 圆周运动
- 共3703题
某人站在一平台上，用长L=0.6m的轻细线拴一个质量为m=0.6kg的小球，让它在竖直平面内以O点为圆心做圆周运动，当小球转到最高点A时，人突然撒手。经0.8s小球落地，落地点B与A点的水平距离BC=4.8m，不计空气阻力，g=10m/s2。求：
（1）A点距地面高度。
（2）小球离开最高点时的线速度及角速度大小。
（3）人撒手前小球运动到A点时，绳对球的拉力大小。
正确答案
解：（1）
（2）
（3）人撒手前小球运动到A点时，设小球所受拉力为T，则有：
所以
如图装置叫做离心节速器，它的工作原理和下述力学模型类似：在一根竖直硬质细杆的顶端O用铰链连接两根轻杆，轻杆的下端分别固定两个金属小球．当发动机带动竖直硬质细杆转动时，两个金属球可在水平面上做匀速圆周运动，如图所示．设与金属球连接的两轻杆的长度均为L，两金属球的质量均为m，各杆的质量均可忽略不计．当发动机加速运转时，轻杆与竖直杆的夹角从30°增加到60°，忽略各处的摩擦和阻力．
求：（1）当轻杆与竖直杆的夹角为30°时金属球做圆周运动的线速度的大小v1；
（2）轻杆与竖直杆的夹角从30°增加到60°的过程中机器对两小球所做的总功．
正确答案
（1）金属球做匀速圆周运动，重力与拉力的合力作为向心力，
由mgtanθ=
由r=lsinθ，
得V1=
（2）设小球在偏角为60°时做匀速圆周运动的速度大小为v2，夹角从30°增加到60°的过程中金属球上升的高度为h，则，
mgtan60°=
上升的距离 h=l（co30°-cos 60°）
根据动能定理得
W-2mgh=2（
由以上方程解 W=
答：（1）当轻杆与竖直杆的夹角为30°时金属球做圆周运动的线速度的大小为 
（2）轻杆与竖直杆的夹角从30°增加到60°的过程中机器对两小球所做的总功为 
将地球看成是做匀速转动的圆球体，地球半径为6400km，则赤道上某点的线速度为v=______m/s，角速度ω=______rad/s．
正确答案
赤道上的物体随地球自转，做匀速圆周运动，
其周期等于地球的自转周期，T=24h
所以ω=
线速度的大小v=
故答案为：465.2；7.27×10-5．
某同学利用业余时间为工厂设计了一个测定机器转动角速度的装置，如图所示．A为一金属小球，质量为m，电阻不计．水平光滑的均匀滑杆PN由合金材料制成，电阻不能忽略，PA与电路相连接，电源电动势为ε，内阻不计，限流电阻与杆PN的总电阻相等．连接小球的弹簧，由绝缘材料制成，弹簧的劲度系数为K．小球静止时恰好在滑杆PN的中点，当系统绕OO′轴匀速转动时，电压表的示数为U，试求此时系统转动的角速度ω．
正确答案
设杆PN电阻为R0，系统转动时杆PA段的电阻为R
根据欧姆定律得：
U1=
U2=
设弹簧原长为l，则实际长度l0（反映PN杆接入电路中的长度）为：
l0=
弹簧伸长量为：
x=l0-l （4）
据胡克定律和牛顿第二定律得 Kx=mω2l （5）
由（1）（2）（3）（4）（5）式解得：
ω=
答：此时系统转动的角速度ω为
如图所示，在半径为R的水平圆板中心轴正上方高h处水平抛出一小球，圆板做匀速转动。当圆板半径OB转到图示位置时，小球开始抛出，要使球与圆板只碰一次，且落点为B，则小球的初速度v0=_______，圆板转动的角速度ω=__________。
正确答案
地面上有一个半径为R的圆形跑道，高为h的平台边缘上的P点在地面上P′点的正上方，P′与跑道圆心O的距离为L（L＞R），如图所示．跑道上停有一辆小车，现从P点水平抛出小沙袋，使其落入小车中（沙袋所受空气阻力不计）．问：
（1）当小车分别位于A点和B点时（∠AOB=90°），沙袋被抛出时的初速度各为多大？
（2）若小车在跑道上运动，则沙袋被抛出时的初速度在什么范围内？
（3）若小车沿跑道顺时针运动，当小车恰好经过A点时，将沙袋抛出，为使沙袋能在B处落入小车中，小车的速率v应满足什么条件？
正确答案
（1）沙袋从P点被抛出后做平抛运动，设它的落地时间为t，则
h=
解得 t=
当小车位于A点时，有
xA=vAt=L-R（2）
解（1）、（2）得vA=（L-R）
当小车位于B点时，有
xB=vBt=
解（1）、（3）得vB=
（2）若小车在跑道上运动，要使沙袋落入小车，最小的抛出速度为
v0min=vA=（L-R）
若当小车经过C点时沙袋刚好落入，抛出时的初速度最大，有
xc=v0mint=L+R （5）
解（1）、（5）得 v0min=（L+R）
所以沙袋被抛出时的初速度范围为
（L-R）
（3）要使沙袋能在B处落入小车中，小车运动的时间应与沙袋下落时间相同
tAB=（n+
所以tAB=t=
解得v=
答：（1）当小车分别位于A点和B点时（∠AOB=90°），沙袋被抛出时的初速度为vA=（L-R）
（2）若小车在跑道上运动，则沙袋被抛出时的初速度范围为（L-R）
（3）若小车沿跑道顺时针运动，当小车恰好经过A点时，将沙袋抛出，为使沙袋能在B处落入小车中，小车的速率v应满足v=
如图所示，圆桶底面半径为R，在上部有个入口A，在A的正下方h处有个出口B，在A处沿切线方向有一斜槽，一个小球恰能沿水平方向进入入口A后，沿光滑桶壁运动，要使小球由出口B飞出桶外，那么小球进入A时速度v必须满足______．
正确答案
小球从入口A进入桶内以后，在竖直方向只受重力作用，且竖直方向初速度为零，
故小球在竖直方向做自由落体运动，由h=
小球在水平方向以速率v做匀速圆周运动，设它从A到B共运动了n圈，则：
vt=n•2πR，（n=1、2、3…）---------------②
联立①②解得：V=2πnR
此即为小球进入A时速度v所必须满足的条件．
故答案为：2πnR
如图所示为一种“滚轮--平盘无级变速器”的示意图，它由固定于主动轴上的平盘和可随从动轴转动的圆柱形滚轮组成，由于摩擦的作用，当平盘转动时，滚轮就会跟随转动（滚轮不打滑）．其中滚轮半径为r、主动轴的半径为r1、从动轴的半径为r2、滚轮中心距离主动轴轴线的距离为x．
（1）若主动轴转速为n1，则从动轴转速n2=______．
（2）若从动轴牵引一质量为m的重物以速度v匀速上升，则滚轮与平盘间的摩擦力F=______． 电动机施于主动轴外缘的牵引力的功率P=______．
正确答案
（1）滚轮边缘的线速度大小为v1=2πn2r，
滚轮与主动轮接触处的线速度大小v2=2πn1x．
根据v1=v2，得2πn2r=2πn1x，解得n2=
（2）重物匀速上升，则从动轴受到重物的作用力大小为mg，
对从动轴，由力矩平衡条件得：Fr=mgr2，则摩擦力F=
电动机施于主动轴外缘的牵引力的功率P=mgv；
故答案为：（1）
图1是利用激光测转的原理示意图，图中圆盘可绕固定轴转动，盘边缘侧面上有一小段涂有很薄的反光材料．当盘转到某一位置时，接收器可以接收到反光涂层所反射的激光束，并将所收到的光信号转变成电信号，在示波器显示屏上显示出来（如图2所示）．
（1）若图2中示波器显示屏横向的每大格（5小格）对应的时间为5.00×10-2 s，则圆盘的转速为______转/s．（保留3位有效数字）
（2）若测得圆盘直径为10.20cm，则可求得圆盘侧面反光涂层的长度为______ cm．（保留3位有效数字）
正确答案
（1）从图2显示圆盘转动一周在横轴上显示22格，由题意知道，每格表示1.00×10-2s，所以圆盘转动的周期为0.22秒，则转速为4.55转/s；
（2）反光中引起的电流图象在图2中横坐标上每次一小格，说明反光涂层的长度占圆盘周长的22分之一，故圆盘上反光涂层的长度为
故答案为：4.55，1.46．
探究能力是物理学研究的重要能力之一．物体因绕轴转动而具有的动能叫转动动能，转动动能的大小与物体转动的角速度有关．为了研究某一砂轮的转动动能Ek与角速度ω的关系．某同学采用了下述实验方法进行探索：如图先让砂轮由动力带动匀速旋转测得其角速度ω，然后让砂轮脱离动力，由于克服转轴间摩擦力做功，砂轮最后停下，测出砂轮脱离动力到停止转动的圈数n，通过分析实验数据，得出结论．经实验测得的几组ω和n如下表所示：
另外已测得砂轮转轴的直径为1cm，转轴间的摩擦力恒定为10/π（N）．
（1）计算出砂轮每次脱离动力的转动动能，并填入上表中．
（2）由上述数据推导出该砂轮的转动动能Ek与角速度ω的关系式为______．
（3）若测得脱离动力后砂轮的角速度为2.5rad/s，则它转过45圈后的角速度为______rad/s．
正确答案
（1）根据动能定理得：Ek=f•n•πD，代入计算得到数据如下表所示．
（2）由表格中数据分析可知，当砂轮的角速度增大为原来2倍时，砂轮的转动动能Ek是原来的4倍，得到关系Ek=kω2．当砂轮的角速度增大为原来4倍时，砂轮的转动动能Ek是原来的16倍，得到Ek与ω2成正比，则有关系式Ek=kω2．k是比例系数．将任一组数据比如：ω=1rad/s，Ek=2J，代入得到k=2J•s/rad，所以砂轮的转动动能Ek与角速度ω的关系式是Ek=2ω2
（3）根据动能定理得
-f•n•πD=2ω22-2ω12
代入解得ω2=2rad/s
故答案为：（1）0.5，2，8，18，32；
（2）2ω2；
（3）2rad/s
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