- 全称量词与存在性量词
- 共555题
若命题P：“∀x＞0，ax-2-2x2＜0”是真命题，则实数a的取值范围是______．
正确答案
∵命题P：“∀x＞0，ax-2-2x2＜0”是真命题⇔“∀x＞0，2x2-ax+2＞0”是真命题．
令f（x）=2x2-ax+2，则必有
解得a＜4．
∴实数a的取值范围是（-∞，4）．
故答案为（-∞，4）．
已知命题p：∀x∈R，ax2+2x+3＞0，如果命题￢p是真命题，那么实数a的取值范围是______．
正确答案
因为命题￢p是真命题，
所以命题p是假命题，
而当命题p是真命题时，
就是不等式ax2+2x+3＞0对一切x∈R恒成立，
这时应有
解得a＞
因此当命题p是假命题，
即命题￢p是真命题时实数a的取值范围是a≤
故选A≤
下列命题：
①命题“∃x∈R，x2+x+1=0”的否定是“∃x∈R，x2+x+1≠0”；
②若A={x|x＞0}，B={x|x≤-1}，则A∩（CRB）=A；
③函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）是偶函数的充要条件是φ=kπ+
④若非零向量
其中正确命题的序号有______．
正确答案
①∵“全称命题”的否定一定是“存在性命题”．
命题“∃x∈R，x2+x+1=0”的否定应是“∀x∈R，x2+x+1≠0”；①错误．
②CRB={x|x＞-1}，A={x|x＞0}，∴A∩（CRB）={x|x＞0}=A ②正确．
③函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）是偶函数的充要条件是f（x）图象关于y轴对称，
即有f（0）=±1，∴sinφ=±1，φ=kπ+
④由已知，非零向量
故答案为：②③．
命题“若a=-b，则a2=b2”否命题的真假为______．
正确答案
命题“若a=-b，则a2=b2”的逆命题是：“若a2=b2，则a=-b”，显然是假命题，
故原命题的否命题为假命题
故答案为：假命题
给定下列命题：
①“若m＞0，则方程x2+2x-m=0有实数根”的逆否命题；
②“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件．
③“矩形的对角线相等”的逆命题；
④全称命题“∀x∈R，x2+x+3＞0”的否定是“∃x0∈R，x02+x0+3≤0”
其中真命题的序号是______．
正确答案
①△=4+4m＞0，所以原命题正确，根据其逆否命题与原命题互为逆否命题，真假相同
故其逆否命题是真命题，因此①正确；
②x2-3x+2=0的两个实根是1或2，因此“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件，故②正确；
③逆命题：“对角线相等的四边形是矩形”是假命题．
④：“∀x∈R，x2+x+3＞0”的否定是“∃x∈R，有x2+x+3≤0”，是真命题；
故答案为①②④．
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