- 全称量词与存在性量词
- 共555题
下列说法:
①“∃x∈R,使2x>3”的否定是“∀x∈R,使2x≤3”;
②函数y=sin(2x+)的最小正周期是π;
③“在△ABC中,若sinA>sinB,则A>B”的逆命题是真命题;
④“m=-1”是“直线mx+(2m-1)y+1=0和直线3x+my+2=0垂直”的充要条件;
其中正确的说法是______(只填序号).
正确答案
对于①“∃x∈R,使2x>3”的否定是“∀x∈R,使2x≤3”;满足命题的否定形式,正确;
对于②,函数y=sin(2x+)的最小正周期是π;正确.
对于③“在△ABC中,若sinA>sinB,则A>B”的逆命题是:在△ABC中,若A>B,则sinA>sinB,是真命题;正确‘
对于④“m=-1”⇒“直线mx+(2m-1)y+1=0和直线3x+my+2=0垂直”,但是反之不成立,所以说是充要条件,不正确;
故正确结果:①②③.
故答案为:①②③.
设命题p:方程+
=1表示中心在原点,焦点在坐标轴上的双曲线,命题q:存在x∈R,则x2-4x+a<0.
(1)写出命题q的否定;
(2)若“p或非q”为真命题,求实数a的取值范围.
正确答案
(1)∵命题q:存在x∈R,则x2-4x+a<0
非命题q:任意x∈R,则x2-4x+a≥0…(5分)
(2)若p真,即方程+
=1表示焦点在坐标轴上的双曲线,
则(a+6)(a-7)<0,
∴-6<a<7.
若非q真,△=16-4a≤0
∴a≥4…(11分)
因为“p或非q”为真命题,所以p与非q中至少有一个为真,…(13分)
∴-6<a<7或a≥4
即a>-6…(15分)
已知命题p:“∀x∈[0,1],a≥ex”,命题q:“∃x∈R,x2+4x+a=0”,若命题“p∧q”是真命题,则实数a的取值范围______.
正确答案
命题“p∧q”是真命题,即命题p是真命题,且命题q是真命题,
命题p:“∀x∈[0,1],a≥ex”为真,∴a≥e1=e;
由命题q:“∃x∈R,x2+4x+a=0”,
即方程有解,∴△≥0,
16-4a≥0.
所以a≤4
则实数a的取值范围是[e,4]
故答案为:[e,4].
命题“若a>b则2a>2b-1”的否命题为______.
命题p:∀x∈R,sinx≤1,则¬p为______.
正确答案
①命题“若a>b,则2a>2b-1”的否命题为“若a≤b,则2a≤2b-1”.
②:∵命题p:∀x∈R,sinx≤1,是全称命题
∴¬p为:∃x0∈R,sinx0>1.
故答案为:若a≤b则2a≤2b-1;∃x0∈R,sinx0>1.
已知命题p:x2-x≥6,q:x∈Z,若“p∧q”与“¬q”同时为假,求x的值.
正确答案
p:x2-x-6≥0,∴x≥3或x≤-2,…5分
因为“p∧q”与“¬q”同时为假,∴p假q真,…(8分)
即,∴x=-1,0,1,2…(12分)
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