- 全称量词与存在性量词
- 共555题
若命题p：∀x∈R，ax2+4x+a≥-2x2+1是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
正确答案
依题意：ax2+4x+a≥-2x2+1恒成立，
即（a+2）x2+4x+a-1≥0①恒成立，
所以有①：当a+2=0，即a=-2时，不等式①为4x-3≥0不恒成立
②
⇔
综上所述，a≥2．
所以选B
有下列四个命题：
①“若xy≠-1，则x≠1或y≠-1”是假命题；
②“∀x∈R，x2+1＞1”的否定是“∃x∈R，x2+1≤1”
③当a1，a2，b1，b2，c1，c2均不等于0时，“不等式a1x2+b1x+c1＞0与a2x2+b2x+c2＞0解集相同”是“
④“全等三角形相似”的否命题是“全等三角形不相似”，其中正确命题的序号是______．
（写出你认为正确的所有命题序号）
正确答案
①“若xy≠-1，则x≠1或y≠-1”是真命题，故错．
②∵原命题“∀x∈R，x2+1＞1，∴命题“∀x∈R，x2+1＞1的否定是：
∃x∈R，x2+1≤1，易得到答案．故正确．
③通过举反例a1=b1=c1=1，a2=b2=c2=-1，可得③不正确，
④“全等三角形相似”的否命题是“不全等三角形不相似”，可知，④不正确的．
故答案为：②．
已知命题p：
正确答案
命题q等价于：（x-a）[x-（a+1）]≤0
解得：a≤x≤a+1
另：¬p是¬q的必要而不充分条件等价于q是p的必要而不充分条件
即p⊆q，q⊊p
故
下列存在性命题中，是真命题的是______．
①∃x∈R，x≤0；
②至少有一个整数，它既不是合数，也不是质数；
③∃x∈{x|x是无理数}，x2是无理数．
正确答案
①真命题，如当x=-1时，x≤0成立；
②真命题，1既不是合数，也不是质数；
③真命题，如x=
故答案为：①②③．
命题p：“方程
命题q：“∀x∈R，mx2+2x+m＞0恒成立”，
若命题p与命题q有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围．
正确答案
命题p为真命题时，m＞2
命题q真命题时，m＞1，
①命题p为真，q为假时，⇒
②命题p为真，q为假时，⇒
综上所述，m的取值范围是（1，2]
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