- 全称量词与存在性量词
- 共555题
命题“存在实数x,y,使得x+y>1”,用符号表示为______;此命题的否定是______(用符号表示),是______命题(填“真”或“假”).
正确答案
命题“存在实数x,y,使得x+y>1”,用符号表示为:“∃x,y∈R,x+y>1”,
此命题的否定是全称命题:“∀x,y∈R,x+y≤1”;显然命题的否定是假命题.
故答案为:∃x,y∈R,x+y>1;∀x,y∈R,x+y≤1;假.
命题“对于任意的x∈R,使得x2-3x+3>0”的否定是______.
正确答案
命题“对于任意的x∈R,使得x2-3x+3>0”是全称命题,
否定时将量词对任意的x∈R变为存在实数x,再将不等号>变为≤即可.
故答案为:存在实数x,有x2-3x+3≤0.
若函数f(x)对于∀x∈R都有f(1-x)=f(1+x)和f(1-x)+f(3+x)=0成立,当x∈[0,1]时,f(x)=x,则f(2013)=______.
正确答案
∵函数f(x)对于∀x∈R都有f(1-x)=f(1+x)和f(1-x)+f(3+x)=0成立,
∴f(x+1)=-f(x+3),
∴f(x)=-f(x+2),
∴f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x),
∴f(x)是以4为周期的函数,
∵当x∈[0,1]时,f(x)=x,
∴f(2013)=f(4×503+1)=f(1)=1.
故答案为:1.
对∀x∈R,kx2-kx-1<0是真命题,则k的取值范围是______.
正确答案
当k=o时,对∀x∈R,kx2-kx-1<0,-1<0即是真命题,成立.
当k<0时,对∀x∈R,kx2-kx-1<0是真命题,必有△=(-k)2+4k<0,
解得,-4<k<0,
当k>0时,对∀x∈R,kx2-kx-1<0是真命题,显然不成立.
综上,-4<k≤0.
故答案为:-4<k≤0
已知命题P:∀x∈R,ex≥1,那么¬P为______.
正确答案
根据全称命题P:∀x∈R,ex≥1的否定为特称命题,
即:¬p为∃x∈R,ex<1.
故答案为:∃x∈R,ex<1.
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